ブール代数は、二進法を操作することによって作成される代数の一種です。 1854 年、イギリスの数学者ジョージ ブールがこの代数を提案しました。これは、記号 0 と 1、または True と False を使用するアリストテレスの命題論理の変形です。ブール代数は、バイナリ変数と論理演算に関係します。
ブール代数はデジタル エレクトロニクス システムの開発において基本的なものであり、すべてのシステムでは次の概念が使用されます。 ブール代数 コマンドを実行します。デジタルエレクトロニクス以外にも、この代数は集合論、統計学、その他の数学分野にも応用されています。
この記事では、基本的なブール演算、ブール式、真理値表、ブールの法則などについて詳しく学びます。
目次
ブール代数演算
ブール代数ではさまざまな演算が使用されますが、ブール代数の基礎となる基本演算は次のとおりです。
- 否定 または NOT 操作
- 接続詞 または AND 演算
- 論理和 または OR 演算

ブール代数式
チェック: デジタル エレクトロニクスにおけるブール代数の基礎
これらの演算には独自の記号と優先順位があり、以下に追加した表にこれらの演算子の記号と優先順位を示します。
オペレーター | シンボル | 優先順位 数多のゼロ |
---|---|---|
ない | 「(または)⇁」 | 初め |
そして | 。 (または) ∧ | 2番 |
または | + (または) ∨ | 三番目 |
2 つのブール変数を使用して、これらの操作を簡単に定義できます。
2 つの値 0 または 1 のいずれかを取ることができる 2 つのブール変数 A と B を考えてみましょう。つまり、OFF または ON のいずれかになります。これらの操作は次のように説明されます。
否定または NOT 演算
の使用 ない この操作は、ブール変数の値を 0 から 1 に、またはその逆に反転します。これは次のように理解できます。
- A = 1 の場合、NOT 演算を使用すると (A)’ = 0 になります。
- A = 0の場合、NOT演算を使用すると、(A)’ = 1になります。
- また、否定演算を ~A として表します。つまり、A = 1 の場合、~A = 0
チェック: ブール代数の性質
論理積または AND 演算
の使用 そして 個々の変数の値が両方とも true で、いずれかの値が false の場合、この演算は条件を満たし、負の結果が得られます。これは次のように理解できます。
- A = True、B = True の場合、 A 。 B = 真
- A = True、B = False、または A = false、B = True の場合、 A 。 B = 偽
- A = False、B = False の場合、 A 。 B = 偽
チェック: ブール代数定理
論理和 (OR) 演算
の使用 または この操作は、個々の変数のいずれかの値が true の場合に条件を満たしますが、両方の値が false の場合にのみ負の結果が得られます。これは次のように理解できます。
- A = True、B = True の場合、A + B = True
- A = True、B = False、または A = false、B = True の場合、A + B = True
- A = False、B = False の場合、A + B = False
ブール代数の表
以下はブール代数の式です。
手術 | シンボル | 意味 |
---|---|---|
AND演算 | ⋅ または ∧ | 両方の入力が true の場合にのみ true を返します。 |
OR演算 | + または ∨ | 少なくとも 1 つの入力が true の場合、true を返します。 |
操作ではありません | ã または 〜 | 入力を反転します。 |
XOR演算 | ⊕ | 1 つの入力だけが true の場合に true を返します。 |
NAND動作 | ↓ | 両方の入力が true の場合にのみ false を返します。 |
NOR演算 | ↑ | 少なくとも 1 つの入力が true の場合は false を返します。 |
XNOR 演算 | ↔ | 両方の入力が等しい場合は true を返します。 |
ブール式と変数
ブール式は、評価時にブール値を生成する式です。つまり、真の値または偽の値を生成します。一方、ブール変数はブール数値を格納する変数です。
P + Q = R は、P、Q、R が 0 と 1 の 2 つの値のみを格納できるブール変数であるブール句です。0 と 1 は false と True の同義語で、ブール代数で使用されることがあります。また、True の代わりに Yes を使用し、False の代わりに No を使用します。
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したがって、ブール変数を使用し、ブール演算を実行するステートメントはブール式であると言えます。ブール式の例としては、次のようなものがあります。
- A + B = 真
- A.B = 真
- (A)’ = 偽
チェック: ブール代数の公理
ブール代数の用語
ブール代数に関連するさまざまな用語があり、ブール代数のさまざまなパラメーターを説明するために使用されます。 ブール代数 。それには、
- ブール代数
- ブール変数
- ブール関数
- リテラル
- 補体
- 真理値表
さて、ブール代数の重要な用語については、以下の記事で説明します。
ブール代数
二項演算または論理演算を扱う代数の分野は、ブール代数と呼ばれます。 19 世紀半ばにジョージ ブールによって導入されました。バイナリ変数の論理関数を分析および操作するために使用されます。デジタル論理設計、コンピュータサイエンス、電気通信などのさまざまな分野で広く使用されています。
ブール変数
ブール代数で使用される、論理値 0 と 1 を格納する変数をブール変数と呼びます。これらは、true または false の値を保存するために使用されます。ブール変数は、ブール式や関数で論理状態や命題を表現する際の基本です。
ブール関数
ブール変数とブール演算子を使用して形成されるブール代数の関数は、ブール関数と呼ばれます。これは、ブール変数と AND、OR、NOT などの論理式を組み合わせて形成されます。これは、論理関係、条件、または操作をモデル化するために使用されます。
リテラル
ブール代数における変数または変数の補数はリテラルと呼ばれます。リテラルは、ブール式と関数の基本的な構成要素です。これらは論理演算のオペランドを表します。
補体
ブール変数の逆関数は、変数の補数と呼ばれます。 0 の補数は 1 で、1 の補数は 0 です。これは、変数の上に ‘ または (ñ) で表されます。補数は、ブール式や関数で論理否定を表すために使用されます。
真理値表
論理変数のすべての可能な値と、変数と指定された演算の組み合わせを含む表は、真理値表と呼ばれます。真理値表の行数は、その関数で使用されるブール変数の合計によって異なります。これは次の公式を使用して与えられます。
真理値表の行数 = 2 n
ここで、n は使用されるブール変数の数です。
チェック:
- 集合論
- 統計
ブール代数の真理値表
真理値表は、入力値と出力のすべての組み合わせを表形式で表します。入力と出力のすべての可能性がそこに示されているため、真理値表と呼ばれます。論理問題では、さまざまなケースを表すために真理値表がよく使用されます。真理値表では、T または 1 は「True」を示し、F または 0 は「False」を示します。
例: 条件 A + B および A.B の真理値表を描画します。ここで、A と b はブール変数です。
解決:
必要な真理値表は次のとおりです。
あ | B | X = A + B | Y = A.B |
---|---|---|---|
T | T | T | T |
T | F | T | F |
F | T | T | F |
F | F | F | F |
ブール代数の規則
ブール代数では、論理式にはさまざまな基本的な規則があります。
- バイナリ表現: ブール代数では、変数は 0 または 1 の 2 つの値のみを持つことができます。0 は低を表し、1 は高を表します。これらの変数はシステムの論理状態を表します。
- 補体表現: 変数の補数は、変数の上に (ñ) または (‘) で表されます。これは、変数の値の論理否定または反転を示します。したがって、変数 A の補数は次のように表すことができます。
overline{A} 、A=0 の値の場合、その補数は 1 です。 - OR 演算: OR 演算は変数間の (+) で表されます。少なくとも 1 つのオペランドが true の場合、OR 演算は true を返します。例として、3 つの変数 A、B、C を取り上げます。OR 演算は A+B+C として表すことができます。
- AND 演算: AND 演算は変数間の (.) で示されます。 AND 演算は、すべてのオペランドが true の場合にのみ true を返します。例として、3 つの変数 A、B、C を取り上げます。AND 演算は、A.B.C または ABC で表すことができます。
ブール代数の法則
ブール代数の基本法則は、以下に追加された表に追加されています。
法 | ORフォーム | AND形式 |
---|---|---|
アイデンティティ法 | P + 0 = P | P.1 = P |
冪等法 | P + P = P | P.P = P |
交換法則 | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
結合法則 | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
分配法則 | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
反転の法則 | (A')' = A | (A')' = A |
モルガンの法則より | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
これらの法則について詳しく学びましょう。
アイデンティティ法
ブール代数では、AND(.) と OR(+) の両方の演算に単位要素があります。恒等法では、ブール代数には、AND 演算と OR 演算で同じ結果が得られるような変数があると述べています。
- A + 0 = A
- A.1 = A
交換法則
ブール代数の 2 値変数は交換法則に従います。この法則は、ブール変数 A および B を操作することは、ブール変数 B および A を操作することと同様であると述べています。
- A.B = B.A
- A + B = B + A
結合法則
結合法則では、結果が常に同じであるため、ブール演算子の実行順序は非論理的であると述べられています。これは次のように理解できます。
- (A . B ) 。 C = A 。 ( B . C )
- ( A + B ) + C = A + ( B + C)
分配法則
ブール変数も分配法則に従い、分配法則の式は次のように与えられます。
- A. ( B + C) = (A . B) + (A . C)
反転の法則
反転の法則はブール代数の独特な法則であり、この法則は、任意の数の補数の補数がその数そのものであることを示しています。
- (A')' = A
これらとは別に、その他の法律を以下に挙げます。
AND法
ブール代数の AND の法則では AND 演算子が使用され、AND の法則は次のようになります。
- A. 0 = 0
- A. 1 = A
- A. A = A
OR法
ブール代数の OR の法則は OR 演算子を使用し、OR の法則は次のようになります。
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
ド・モルガンの法則とも呼ばれます モルガンの定理より 。それらは最も重要な法律です ブール代数 これらは、以下の「ブール代数定理」という見出しの下に追加されます。
ブール代数の定理
ブール代数には、ド モルガンの第一法則とド モルガンの第二法則という 2 つの非常に重要な基本定理があります。 これらはド・モルガンの定理とも呼ばれます。それでは、両方について詳しく見てみましょう。
ド・モルガンの第一法則
同じ真理値表を以下に示します。
P | Q | (P)』 | (問)』 | (P.Q)』 | (P)’ + (Q)’ |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | T | T |
F | T | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | T |
(P.Q)’ の真理値は (P)’ + (Q)’ の真理値に等しく、同じ入力に対応することが明確にわかります。したがって、ド・モルガンの第一法則は真実です。
モーガンの第二法則より
声明: 2 つのブール変数 (または式) の和の補数 (OR) は、各ブール変数 (または式) の補数の積 (AND) と等しくなります。
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
証拠:
同じ真理値表を以下に示します。
P | Q | (P)』 | (問)』 | (P+Q)』 | (P)「.(Q)」 |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | F | F |
F | T | T | F | F | F |
F | F | T | T | T | T |
(P + Q)’ の真理値は、同じ入力に対応する (P)’.(Q)’ の真理値と等しいことが明確にわかります。したがって、ド・モルガンの第二法則は真実です。
続きを読む、
ブール代数の解決例
P + P.Q = P の真理値表を描く
解決:
P + P.Q = P の真理値表
P Q P.Q P+P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F 真理値表では、P + P.Q の真理値が P とまったく同じであることがわかります。
P.Q + P + Qの真理値表を描く
解決:
P.Q + P + Q の真理値表
P Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
解決する
解決:
ド・モルガンの法則の使用
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) 分配法則の使用
math.pow Java
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C したがって、与えられた方程式の簡略化された式は、
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
結論
ブール代数は、バイナリ変数と論理演算子を使用して論理式を表現および操作するための基礎的なフレームワークとして機能します。デジタル論理設計、コンピュータプログラミング、回路解析などのさまざまな分野で重要な役割を果たします。ブール代数は、論理関係を記述および分析する体系的な方法を提供することにより、複雑なシステムおよびアルゴリズムの開発を可能にします。 AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR などの原理と演算は、論理回路の設計、効率的なコードの作成、論理問題の解決のための構成要素を形成します。
ブール代数 - よくある質問
ブール代数とは何ですか?
ブール代数とも呼ばれます 論理代数 0 や 1 などのブール変数を扱う数学の一分野です。
主なブール演算子とは何ですか?
主なブール演算子は次の 3 つです。
- AND (接続詞)
- OR (論理和)
- NOT (否定)
ブール関数を最小化するにはどうすればよいですか?
ブール関数を最小化するには、次のようないくつかの方法があります。
- 代数的簡略化:
- カルノー マップ (K-Maps):
- クワイン・マクラスキーアルゴリズム:
- 集計方法:
- ドントケア条件:
ブール代数の応用とは何ですか?
ブール代数 さまざまな用途があります。現代のテクノロジーの根幹である論理回路を簡素化するために使用されます。
ブール代数で 0 は何を表しますか?
0インチ ブール代数 は False 状態を表すか、スイッチオフ状態を表します。
ブール代数で 1 は何を表しますか?
1インチ ブール代数 True 状態を表すか、スイッチ オン状態を表します。
ブール代数の法則とは何ですか?
ブール代数の法則は、バイナリ変数を使用して論理式を操作するためのルールです。 デジタル エレクトロニクスやコンピューター サイエンスなどの分野で重要な、加算、乗算、補数などの演算の一貫性と簡素化を確保します。
ブール代数の 5 つの法則とは何ですか?
ブール代数 は、論理式を操作するための基礎となる 5 つの主要な法則によって管理されます。
1. AND の恒等法
2. OR のアイデンティティ法
3. AND の補則
4. OR の補則
5. 冪等法則
ブール論理の 3 つの法則とは何ですか?
ブール論理の 3 つの基本法則は次のとおりです。
- アイデンティティ法 (ゼロを追加するか 1 を乗算すると、変数は変更されません)
- 支配法 (変数を補数に加算すると 1 になり、変数に補数を乗算すると 0 になります)
- 交換法則 (加算や乗算では、結果を変えることなく変数の順序を入れ替えることができます)。
ド・モルガンの定理とは何ですか?
ド・モルガンの定理は次のように述べています t 論理 AND 演算の補数は、個々の項の補数の OR 演算と同等です。 およびその逆。これは、論理式を簡素化し、論理回路を最適化するために使用されるブール代数の基本原則です。