数学的帰納法は、さまざまな数学的記述や定理を証明するために使用される数学の概念です。数学的帰納法の原理は、PMI と呼ばれることもあります。これは、最大 n 個の有限自然項までの解を含む数学の基本定理を証明するために使用される手法です。

数学的帰納法の原理は、最初の和などのさまざまなステートメントを証明するために広く使用されています。 n 自然数 は次の式で与えられます n(n+1)/2。 これは数学的帰納法の原理を使用して簡単に証明できます。

この記事では、数学的帰納法の原理、その主張、その例などについて詳しく学びます。

目次

• 数学的帰納法とは何ですか?
• 数学的帰納法ステートメントの原理
• 数学的帰納法ステップ
• 数学的帰納法の例

数学的帰納法とは何ですか?

数学的帰納法は証明を書くための基本的な方法の 1 つであり、よく組織された集合に関する特定のステートメントを証明するために使用されます。一般に、結果を証明したり、次の観点から定式化されたステートメントを確立したりするために使用されます。 n ここで、n は自然数です。

P(n) が n の自然数のステートメントであると仮定すると、数学的帰納法原理を使用して証明できます。まず P(1) について証明し、次に P(k) を真として、次に P(k+1) について証明します。 。 P(k+1) が成り立つ場合、数学的帰納法の原理により P(n) が真であると言います。

数学的帰納法をドミノ倒しに例えることができます。ドミノが倒れると、次のドミノを次々と倒します。最初のドミノが 2 番目のドミノを倒し、2 番目のドミノが 3 番目のドミノを倒します。最終的には、すべてのドミノが倒されます。ただし、満たさなければならない条件がいくつかあります。

• 基本ステップは、ノックプロセスを開始するために開始ドミノが倒れる必要があるということです。
• ドミノ間の距離は、隣接する 2 つのドミノで等しくなければなりません。そうしないと、特定のドミノが次のドミノにボウリングせずに倒れる可能性があります。その後、一連の反応が停止します。ドミノ間の距離を等しく維持すると、各整数 k ≥ a に対して P(k) ⇒ P(k + 1) が保証されます。これが帰納的ステップです。

数学的帰納法ステートメントの原理

n の自然数に対するステートメント P(n) は、以下の手順に従って数学的帰納法原理を使用して証明できます。

ステップ1： 些細なケースでステートメントが真であるかどうかを検証します ( n = 1) つまり、P(1) が true かどうかを確認します。

ステップ2： 一部の k ≥ 1 に対して n = k についてこのステートメントが真である、つまり P(k) が真であると仮定します。

ステップ 3: P(k) の真実が P(k + 1) の真実を意味する場合、ステートメント P(n) はすべての場合に真になります。 n≧1 。

以下に追加された画像には、数学的帰納法のすべてのステップが含まれています

最初のステートメントは事実であり、n = 1 ですべての P(n) が成り立つことが不可能である場合、これらのステートメントは、n の他の値 (n = 2、n = 3 など) に対しても当てはまります。

このステートメントが P(k) について真である場合、P(k+1) が真であることが証明されれば、自然数 (N) に属するすべての n について P(n) が真であると言います。

数学的帰納法ステップ

数学的帰納法で使用されるさまざまなステップには、それに応じて名前が付けられています。数学的帰納法の原理で使用されるさまざまなステップの名前は次のとおりです。

• 基本ステップ: k =1 の場合に P(k) が真であることを証明する
• 仮定のステップ: P(k) が N 内のすべての k および k> 1 に対して true であるとします。
• 導入ステップ: 基本的な数学的性質を使用して P(k+1) が真であることを証明します。

上記の 3 つのステップが証明されれば、数学的帰納法の法則により、N に属するすべての n に対して P(n) が真であると言えます。

数学的帰納法の例

数学的帰納法はさまざまなステートメントを証明するために使用されます。次の例を使用してこれを学習できます。

任意の正の整数 n について、n が次のことを証明します。³+ 2n は常に 3 で割り切れます

解決：

P(n): n とします。³+ 2n は、指定されたステートメントである 3 で割り切れます。

ステップ 1: 基本ステップ

まず、P(1) が真であることを証明します。 n で n = 1 とします。³+2n
= 1³+2(1)
= 3

3 は 3 で割り切れるので、P(1) は true になります。

ステップ 2: 仮定ステップ

P(k) が true であると仮定しましょう

それから、k³+ 2k は 3 で割り切れます

したがって、それを k と書くことができます。³+ 2k = 3n、(n は任意の正の整数)….(i)

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ステップ 3: 導入ステップ

次に、代数式 (k + 1) を証明する必要があります。³+ 2(k + 1) は 3 で割り切れます

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2k) + (3k²+ 3k + 3)

式(i)より

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

3の倍数なので3で割り切れると言えます。

したがって、P(k+1) は true、つまり (k + 1)³+ 2(k + 1) は 3 で割り切れます。数学的帰納法により、P(n): n と言えます。³+ 2n は 3 で割り切れます。は true です。

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数学的帰納法に関する解決例

例 1: すべての n ≥ 1 について、1 であることを証明します。 ² +2 ² +3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

解決：

与えられたステートメントを P(n) とします。

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

ここで、正の整数 k をとり、P(k) が true であると仮定します。

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

ここで、P(k + 1) も真であることを証明します。つまり、次のようになります。

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

したがって、P(k) がすべての自然数に対して真である場合、P(k + 1) は常に真です。したがって、数学的帰納法により、与えられた結果はすべての自然数に当てはまります。

例 2: すべての n ≥ 1 について、1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

解決：

与えられたステートメントを S(n) とします。

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

ここで、正の整数 k をとり、S(k) が true であると仮定します。

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

ここで、S(k + 1) も真であることを証明します。つまり、次のようになります。

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

したがって、S(k) がすべての自然数に対して真である場合、S(k + 1) は常に真です。そして最初に、S(1) が真であること、つまり S(n) がすべての自然数に対して真であることを示しました。

例 3: すべての n ≥ 1 について、1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n であることを証明します。 ²

解決：

与えられたステートメントを S(n) とします。

S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

n = 1 の場合、2 × 1 – 1 = 1²したがって、S(1) は true です。

ここで、正の整数 k をとり、S(k) が true であると仮定します。

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

ここで、S(k + 1) も真であることを証明します。つまり、次のようになります。

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …。 (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

したがって、S(k) がすべての自然数に対して真である場合、S(k + 1) は常に真です。そして最初に、S(1) が真であること、つまり S(n) がすべての自然数に対して真であることを示しました。

例 4: すべての n ≥ 1 について、1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3 であることを証明します。

解決：

与えられたステートメントを S(n) とします。

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

ここで、正の整数 k をとり、S(k) が true であると仮定しましょう。

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S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

ここで、S(k + 1) も真であることを証明します。つまり、次のようになります。

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

したがって、S(k) がすべての自然数に対して真である場合、S(k + 1) は常に真です。そして、最初に、S(1) が真であること、つまり S(n) がすべての自然数に対して真であることを示しました。

例 5: を証明する _n = a ₁ + (n – 1) d は、算術シーケンスの一般用語です。

解決：

n = 1 の場合、次のようになります。_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁したがって、この式は n = 1 の場合に当てはまります。

式を次のように仮定します。_k= a₁+ (k – 1) はすべての自然数に当てはまります。

この式が k+1 にも当てはまることを証明します。つまり、次のようになります。

ある_k+1= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d。

私たちは次のように仮定しました。_k= a₁+ (k – 1) d、および等差数列の定義により、a_k+1–_k= d、

次に、_k+1–_k

= (₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁–₁+ kd – kd + d
= d

したがって、この式は、k に当てはまる場合は常に、k + 1 にも当てはまります。そして、私たちは最初に、この式が n = 1 に対して真であることを示しました。したがって、この式はすべての自然数に対して真です。

数学的帰納法に関する FAQ

数学的帰納法原理とは何ですか?

数学的帰納法は、任意の値 'a' に対して任意のステートメント P(n) が真である場合、P(a) が真であり、P(k) が真であるとみなした場合、P( k+1) が真であるためには、すべての n ≥ a および自然数に属する n について P(n) が真であることを証明できます。

数学的帰納法はどのような用途に使われるのでしょうか?

数学的帰納法は、他の手段では簡単に証明できない数学の基本的な命題を証明するために数学で使用される基本原理です。

行列における数学的帰納法の原理とは何ですか?

行列における数学的帰納法の原理は、他の手段では簡単に証明できない行列の基本的な記述を証明するために使用される基本原則です。

数学的帰納法の原理をどのように適用するか?

数学的帰納法の原理は、数学的ステートメントを証明するために使用されます。ステートメント P(n) を証明する必要があると仮定すると、適用されるステップは次のとおりです。

ステップ1： k =1 の場合に P(k) が真であることを証明する

ステップ2： P(k) が N 内のすべての k および k> 1 に対して true であるとします。

ステップ 3: 基本的な数学的性質を使用して P(k+1) が真であることを証明します。

したがって、P(k+1) が真であれば、P(n) が真であると言います。

数学的帰納法を使用して問題を解決する手順は何ですか?

数学的帰納法で使用される 3 つの基本的なステップは次のとおりです。

• ベースステップ
• 仮定のステップ
• 誘導ステップ