共分散行列は、ランダム ベクトル内の 2 つの項目間の共分散値を記述するために使用される行列の一種です。各要素の分散は行列の主対角に沿って表され、共分散は非対角要素間で表されるため、分散共分散行列としても知られています。共分散行列は通常、正方行列です。また、正の半定値であり、対称です。この行列は、確率モデリングや主成分分析の場合に役立ちます。
共分散行列とは何ですか?
の 分散 -共分散行列は 正方行列 分散を表す対角要素と共分散を表す非対角要素を使用します。変数の共分散は、正、負、またはゼロなどの実数値を取ることができます。正の共分散は 2 つの変数に正の関係があることを示し、負の共分散はそれらが正の関係にないことを示します。 2 つの要素が一緒に変化しない場合、それらの共分散はゼロになります。
もっと詳しく知る、 対角行列
共分散行列の例
2 つのデータセット X = [10, 5] と Y = [3, 9] があるとします。セット X の分散 = 12.5、セット Y の分散 = 18。両方の変数間の共分散は -15 です。共分散行列は次のとおりです。
共分散行列の式
共分散行列の一般的な形式は次のように与えられます。
どこ、
- サンプルの分散: ここで (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} - 共分散のサンプル: (x1、 そして1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - 母集団分散: ここで (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - 母集団の共分散: (xn、 そしてn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
ここ、 メートル は人口の平均です
n は観測の数です
バツ 私 はデータセット x の観測値です
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2 ⨯ 2 と 3 ⨯ 3 の共分散行列の形式を見てみましょう
2 ⨯ 2 共分散行列
2 ⨯ 2 であることがわかります。 マトリックス 2行2列あります。したがって、2 ⨯ 2 共分散行列は次のように表すことができます。
3 ⨯ 3 共分散行列
3⨯3 行列には 3 行 3 列があります。共分散行列では、対角要素が分散であり、非対角要素が共分散であることがわかっています。したがって、3⨯3 共分散行列は次のように与えられます。
共分散行列を見つけるには?
共分散行列の次元は、特定のデータセット内の変数の数によって決まります。セット内に変数が 2 つだけある場合、共分散行列は 2 行 2 列になります。同様に、データセットに 3 つの変数がある場合、その共分散行列は 3 行 3 列になります。
データは、アンナ、キャロライン、ローラが心理学と歴史で採点した点数に関するものです。共分散行列を作成します。
| 学生 | 心理学(X) | 沿革(Y) |
|---|---|---|
| アンナ | 80 | 70 |
| キャロライン | 63 | 二十 |
| ローラ | 100 | 50 |
次の手順に従う必要があります。
ステップ1： 変数 X の平均を求めます。変数 X のすべての観測値を合計し、得られた合計を項の数で割ります。したがって、(80 + 63 + 100)/3 = 81 となります。
ステップ2： すべての観測値から平均値を引きます。 (80 – 81)、(63 – 81)、(100 – 81)。
ステップ 3: 上記で得られた差の二乗をとり、それらを合計します。したがって、(80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2。
ステップ 4: ステップ 3 で取得した値を観測値の総数から 1 を引いた値で割ることにより、X の分散を求めます。 var(X) = [(80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2] / (3 – 1) = 343。
ステップ5: 同様に、手順 1 ～ 4 を繰り返して、Y の分散を計算します。Var(Y) = 633。
ステップ6: 変数のペアを選択します。
ステップ 7: すべての観測値から最初の変数 (X) の平均を減算します。 (80 – 81)、(63 – 81)、(100 – 81)。
ステップ8: 変数 Y についても同じことを繰り返します。 (70 – 47)、(20 – 47)、(50 – 47)。
ステップ9: 対応する項を掛けます: (80 – 81)(70 – 47)、(63 – 81)(20 – 47)、(100 – 81)(50 – 47)。
ステップ 10: これらの値を加算し、(n – 1) で割ることによって共分散を求めます。 Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481。
ステップ 11: 共分散行列の一般式を使用して項を整理します。マトリックスは次のようになります。
共分散行列のプロパティ
共分散行列のプロパティを以下に示します。
- 共分散行列は常に正方行列であり、共分散行列の行数が常に列数と等しいことを意味します。
- 共分散行列は常に対称であり、 転置 共分散行列の は常に元の行列と等しくなります。
- 共分散行列は常に正で半定値です。
- の 固有値 共分散行列の は常に実数であり、負ではありません。
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共分散行列の解決例
例 1: 物理学と生物学で 3 人の学生が獲得した得点は次のとおりです。
文字列から整数へのコンバーター
| 学生 | 物理学(X) | 生物学(Y) |
|---|---|---|
| あ | 92 | 80 |
| B | 60 | 30 |
| C | 100 | 70 |
上記のデータから共分散行列を計算します。
解決：
サンプルの共分散行列は次のように与えられます。
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} 。ここで、μバツ= 84、n = 3
var(x) = [(92 – 84)2+ (60 – 84)2+ (100 – 84)2] / (3 – 1) = 448
それで、μそして= 60、n = 3
var(y) = [(80 – 60)2+ (30 – 60)2+ (70 – 60)2] / (3 – 1) = 700
ここで、cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] となります。 / (3 – 1) = 520。
母集団共分散行列は次のように与えられます。
egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}
例 2. 次の表から母集団共分散行列を準備します。
| 年 | 人々の数 |
|---|---|
| 29 | 68 |
| 26 | 60 |
| 30 | 58 |
| 35 | 40 |
解決：
母集団の分散は次の式で与えられます。
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} 。ここで、μバツ= 56.5、n = 4
var(x) = [(68 – 56.5)2+ (60 – 56.5)2+ (58 – 56.5)2+ (40 – 56.5)2] / 4 = 104.75
それで、μそして= 30、n = 4
var(y) = [(29 – 30)2+ (26 – 30)2+ (30 – 30)2+ (35 – 30)2] / 4 = 10.5
さて、cov(x, y) =
frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4} cov(x, y) = -27
母集団共分散行列は次のように与えられます。
egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix} SQLでキャストする
例 3. 次の共分散行列を解釈します。
解決：
- 対角要素 60、30、および 80 は、それぞれデータセット X、Y、および Z の分散を示します。 Y は最小の分散を示し、Z は最大の分散を示します。
- X と Y の共分散は 32 です。これは正の数であるため、X が増加 (または減少) すると、Y も増加 (または減少) することを意味します。
- X と Z の共分散は -4 です。これは負の数であるため、X が増加すると Z が減少し、その逆も同様であることを意味します。
- Y と Z の共分散は 0 です。これは、2 つのデータセット間に予測可能な関係がないことを意味します。
例 4. 次のデータのサンプル共分散行列を見つけます。
| バツ | そして | と |
|---|---|---|
| 75 | 10.5 | 4つ。 |
| 65 | 12.8 | 65 |
| 22 | 7.3 | 74 |
| 15 | 2.1 | 76 |
| 18 | 9.2 | 56 |
解決：
サンプルの共分散行列は次のように与えられます。
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} 。n = 5、mバツ= 22.4、var(X) = 321.2 / (5 – 1) = 80.3
メートルそして= 12.58、var(Y) = 132.148 / 4 = 33.037
メートルと= 64、var(Z) = 570 / 4 = 142.5
cov(X, Y) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76 cov(X, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97 cov(Y, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87 共分散行列は次のように与えられます。
egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}
共分散行列に関する FAQ
1. 共分散行列を定義する
共分散行列は、ランダム ベクトル内の 2 つの項目間の共分散値を記述するために使用される行列の一種です。
2. 共分散行列の公式は何ですか?
共分散行列の式は次のように与えられます。
left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight] どこ、 サンプルの分散: ここで (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
- 共分散のサンプル: (x1、 そして1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - 母集団分散: ここで (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - 母集団の共分散: (xn、 そしてn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
3. 3 ⨯ 3 共分散行列の一般形式は何ですか?
3 ⨯ 3 共分散行列の一般的な形式は次のように与えられます。
egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}
4. 共分散行列の特性とは何ですか?
共分散行列は正方行列であり、本質的に対称でもあります。つまり、元の行列の転置により元の行列自体が得られます。
5. 共分散行列を使用できる分野は何ですか?
共分散行列は、数学、機械学習、金融、経済の分野で使用されます。共分散行列は、数学モデルの作成に使用されるモンテカルロ シミュレーションを実行するためにチョルスキー分解で使用されます。