固有値と固有ベクトルは、以下に関連付けられたスカラー量とベクトル量です。 マトリックス 線形変換に使用されます。変換を適用しても変化しないベクトルを固有ベクトルと呼び、固有ベクトルに付加されるスカラー値を固有ベクトルと呼びます。 固有値 。固有ベクトルは、一連の線形方程式に関連付けられたベクトルです。行列の場合、固有ベクトルは固有ベクトルとも呼ばれ、正方行列の固有ベクトルのみを求めることができます。固有ベクトルは、行列や微分方程式のさまざまな問題を解くのに非常に役立ちます。

この記事では、行列の固有値、固有ベクトルなどについて例を挙げて学びます。

目次

• 固有値とは何ですか?
• 固有ベクトルとは何ですか?
• 固有ベクトル方程式
• 固有値と固有ベクトルとは何ですか?
• 固有ベクトルを見つけるにはどうすればよいですか?
• 固有ベクトルの種類
• 右固有ベクトル
• 左固有ベクトル
• 正方行列の固有ベクトル
• 2 × 2 行列の固有ベクトル
• 3 × 3 行列の固有ベクトル
• 固有空間
• 固有値の適用
• 固有値と固有ベクトルを使用して行列を対角化する
• 固有ベクトルに関する解決済みの例
• 固有ベクトルに関する FAQ

固有値とは何ですか?

固有値は、線形変換における固有ベクトルに関連付けられたスカラー値です。 「Eigen」という言葉はドイツ語起源で、「特徴」を意味します。したがって、これらは、固有ベクトルがその方向に引き伸ばされる係数を示す特性値です。固有値が負の場合を除き、ベクトルの方向の変化は伴いません。固有値が負の場合、方向は単に反転されます。固有値の方程式は次のように与えられます。

オフ = λv

どこ、

• A は行列であり、
• v は関連する固有ベクトルであり、
• λ はスカラー固有値です。

固有ベクトルとは何ですか?

正方行列の固有ベクトルは、正方行列で乗算すると、スケーラーにベクトルの倍数を与える非ゼロのベクトル値として定義されます。つまり、条件が指定されている場合、行列 A の固有ベクトルを v になるように定義します。 オフ = λv

上記の場合のスケーラ倍数 λ を正方行列の固有値と呼びます。行列の固有ベクトルを見つける前に、常に最初に正方行列の固有値を見つける必要があります。

次数 n × n の正方行列 A の場合、固有ベクトルは次数 n × 1 の列行列です。行列 A の固有ベクトルを Av = λv で求めると、この中の v は行列 A の右固有ベクトルと呼ばれます。行列の乗算は本質的に可換ではないため、常に右側に乗算されます。一般に、固有ベクトルを見つけると、それは常に正しい固有ベクトルになります。

次の関係を使用して、正方行列 A の左固有ベクトルを見つけることもできます。 vA = vl

ここで、v は左固有ベクトルであり、常に左側に乗算されます。行列 A の次数が n × n の場合、v は次数 1 × n の列行列になります。

固有ベクトル方程式

固有ベクトル方程式は、正方行列の固有ベクトルを見つけるために使用される方程式です。固有ベクトル方程式は次のとおりです。

オフ = λv

どこ、

• あ は与えられた正方行列、
• で は行列 A の固有ベクトルであり、
• 私 任意のスケーラー倍数です。

固有値と固有ベクトルとは何ですか?

A が 正方行列 次数 n × n の場合、以下で説明する方法に従って正方行列の固有ベクトルを簡単に見つけることができます。

固有ベクトルは方程式 Av = λv を使用して与えられることがわかっています。A の次数と同じ次数の単位行列、つまり n × n の場合、次の方程式を使用します。

(A-λI)v = 0

上の方程式を解くと、さまざまな λ の値が λ として得られます。₁、l₂、...、l_nこれらの値は固有値と呼ばれ、各固有値に関連する個別の固有ベクトルが得られます。

上の方程式を簡略化すると、次数 n × 1 の列行列である v が得られ、v は次のように書かれます。

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

固有ベクトルを見つけるにはどうすればよいですか?

次の正方行列の固有ベクトルは、以下の手順を使用して簡単に計算できます。

ステップ1： 方程式 det |(A – λI| =0 を使用して、行列 A の固有値を求めます。ここで、I は行列 A と同様の次数の単位行列です。

ステップ2： ステップ 2 で取得した値は、次のように名付けられます。₁、l₂、l₃…。

ステップ 3: 固有値 λ に関連付けられた固有ベクトル (X) を見つけます。₁方程式を使用して、(A – λ₁I) X = 0

ステップ 4: ステップ 3 を繰り返して、他の残りの固有値 λ に関連付けられた固有ベクトルを見つけます。₂、l₃…。

これらの手順に従うと、指定された正方行列に関連する固有ベクトルが得られます。

固有ベクトルの種類

正方行列に対して計算された固有ベクトルには、次の 2 つのタイプがあります。

• 右固有ベクトル
• 左固有ベクトル

右固有ベクトル

与えられた正方行列を右辺から乗じた固有ベクトルを右固有ベクトルといいます。次の式を使用して計算されます。

の _R = λV _R

どこ、

• あ 次数 n×n の正方行列が与えられると、
• 私 は固有値の 1 つであり、
• で _R は列ベクトル行列です

Vの値_Rは、

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

左固有ベクトル

与えられた正方行列を左辺から乗じた固有ベクトルを左固有ベクトルと呼びます。次の式を使用して計算されます。

で _L A = V _L 私

どこ、

• あ 次数 n×n の正方行列が与えられると、
• 私 は固有値の 1 つであり、
• で _L は行ベクトル行列です。

Vの値_Lは、

で _L = [v ₁ 、 で ₂ 、 で ₃ 、…、 で _n ]

正方行列の固有ベクトル

n × n 次の正方行列の固有ベクトルを簡単に見つけることができます。ここで、次の正方行列を見つけてみましょう。

• 2 × 2 行列の固有ベクトル
• 3 × 3 行列の固有ベクトル。

2 × 2 行列の固有ベクトル

2 × 2 行列の固有ベクトルは、上記の手順を使用して計算できます。同じ例としては、

例: 行列 A = の固有値と固有ベクトルを求めます。 egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

解決：

固有値が λ を使用して表され、固有ベクトルが v = として表される場合egin{bmatrix} a end{bmatrix}

次に、固有ベクトルは次の方程式を使用して計算されます。

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2.5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 および λ = -1

したがって、固有値は 6 と -1 になります。したがって、それぞれの固有ベクトルは次のようになります。

λ = 6の場合

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

上記の方程式を簡略化すると、次のようになります。

5a=2b

必要な固有ベクトルは次のとおりです。

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

λ = -1の場合

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

上記の方程式を単純化すると、

a = -b

必要な固有ベクトルは次のとおりです。

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

次に、指定された 2 × 2 行列の固有ベクトルは次のようになります。egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

これらは 2 つの可能な固有ベクトルですが、これらの固有ベクトルの対応する倍数の多くは、他の可能な固有ベクトルとみなすこともできます。

3 × 3 行列の固有ベクトル

3 × 3 行列の固有ベクトルは、上記の手順を使用して計算できます。同じ例としては、

例: 行列 A = の固有値と固有ベクトルを求めます。 egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

解決：

固有値が λ を使用して表され、固有ベクトルが v = として表される場合egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

次に、固有ベクトルは次の方程式を使用して計算されます。

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

上記の行列式を単純化すると、次のようになります。

⇒ (2-l)(l²) + 2 分²+2分²= 0

⇒ (-l³) + 6 分²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0、λ = 6

λ = 0の場合

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

上の方程式を簡略化すると、次のようになります。

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

b = k とします。₁そして c = k₂

a + k₁+k₂= 0

a = -(k₁+k₂)

したがって、固有ベクトルは次のようになります。

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

Kを取る₁= 1 と k₂= 0

固有ベクトルは、

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

Kを取る₁= 0 と k₂= 1

固有ベクトルは、

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

λ = 6の場合

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

上記の方程式を簡略化すると、次のようになります。

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

b = k とします。₁そして c = k₂、kを取る₁= k₂= 1、

我々が得る、

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

したがって、固有ベクトルは次のようになります。

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

固有空間

行列の固有空間を、行列のすべての固有ベクトルのセットとして定義します。固有空間内のすべてのベクトルは互いに線形独立しています。

行列の固有空間を見つけるには、次の手順に従う必要があります。

ステップ1： 指定された正方行列のすべての固有値を見つけます。

ステップ2： 各固有値について、対応する固有ベクトルを見つけます。

ステップ 3: すべての固有ベクトルのセットを取得します (A とします)。このようにして形成された結果セットは、次のベクトルの固有空間と呼ばれます。

与えられた 3 × 3 行列 A の上記の例から、形成される固有空間は次のようになります。egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

JavaScriptのコメント

固有値の適用

固有値の一般的な用途には次のようなものがあります。

線形代数

対角化: 固有値を使用して行列を対角化し、計算を簡素化し、線形システムをより効率的に解決します。

行列のべき乗: 固有値は、行列のべき乗を計算する際に重要な役割を果たします。

量子力学

シュレディンガー方程式: ハミルトニアン演算子の固有値は量子系のエネルギー準位に対応し、可能な状態に関する情報を提供します。

振動と構造解析:

機械振動: 固有値は振動系の固有振動数を表します。構造解析では、構造の安定性と挙動を理解するのに役立ちます。

統計

共分散行列: 多変量統計では、固有値は共分散行列の分析に使用され、データの広がりと方向に関する情報を提供します。

コンピューターグラフィックス

主成分分析 (PCA): PCA では固有値を使用してデータセットの主成分を見つけ、重要な情報を保持しながら次元を削減します。

制御システム

システムの安定性: システム行列の固有値は、制御システムの安定性を決定する上で重要です。安定性解析は、システム応答が制限されていることを確認するのに役立ちます。

固有値と固有ベクトルを使用して行列を対角化する

固有値と固有ベクトルは、対角行列を見つけるために使用されます。あ 対角行列 は次のように書ける行列です。

A = XDX ^-1

どこ、

• D 単位行列の 1 を固有値に置き換えることによって形成される行列です。
• バツ は固有ベクトルによって形成される行列です。

次の例を取ると、対角行列の概念を理解できます。

例: 行列 A = を対角化します。 egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

解決：

A の固有値と固有ベクトルはすでに解いています。 = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

A の固有値は、λ = 0、λ = 0、および λ = -8 です。

A の固有ベクトルは次のとおりです。egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

したがって、

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

X の逆関数は次のように簡単に見つけることができます。

バツ^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

続きを読む、

• 行列の初歩的な演算
• 恒等行列
• 逆行列

固有ベクトルに関する解決済みの例

例 1: 行列の固有ベクトルを求める A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

解決：

行列の固有値は次を使用して求められます。

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – 1)³= 0

したがって、固有値は次のようになります。

λ = 1、1、1

すべての固有値が等しいため、3 つの同一の固有ベクトルが存在します。 (A – λI)v = O を使用して、λ = 1 の固有ベクトルを求めます。

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

上記の方程式を解くと得られる、

• a = K
• y = 0
• z = 0

この場合、固有ベクトルは次のようになります。

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

例 2: 行列 A = の固有ベクトルを求めます。 egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

解決：

行列の固有値は次を使用して求められます。

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

したがって、固有値は次のようになります。

λ = 5.5

すべての固有値が等しいため、3 つの同一の固有ベクトルがあります。次を使用して、λ = 1 の固有ベクトルを見つけます。

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

上記を簡単にまとめると、

• a = 1、b = 0
• a = 0、b = 1

この場合、固有ベクトルは次のようになります。

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

固有ベクトルに関する FAQ

固有ベクトルとは何ですか?

任意の行列の固有ベクトルを、行列と乗算すると行列のスケーラー倍数が得られるベクトルとして定義します。

固有ベクトルを見つけるにはどうすればよいですか?

任意の行列 A の固有ベクトルは次のように表されます。 で 。行列の固有ベクトルは、最初に行列の固有値を見つけることによって計算されます。

• 行列の固有値は、式 |A-λI| を使用して求められます。 = 0 ここで、λ は固有値を与えます。
• 固有値を求めた後、式 Av = λv によって固有ベクトルを求めました。ここで、v は固有ベクトルを示します。

固有値と固有ベクトルの違いは何ですか?

正方行列 A の固有値は λ で表され、式 |A – λI| によって計算されます。 = 0。固有値を見つけた後、Av = λv によって固有ベクトルを見つけます。

対角化可能行列とは何ですか?

3 つの行列の積として XDX として表現できる任意の行列^-1は対角化可能な行列です。ここで D は対角行列と呼ばれます。

固有値と固有ベクトルは同じですか?

いいえ、固有値と固有ベクトルは同じではありません。固有値は固有ベクトルを見つけるために使用されるスケーラーであり、固有ベクトルは行列ベクトル変換を見つけるために使用されるベクトルです。

固有ベクトルはゼロベクトルになる可能性がありますか?

固有値をゼロにすることはできますが、固有ベクトルをゼロベクトルにすることはできません。

固有ベクトルの公式とは何ですか?

行列の固有ベクトルは、次の式を使用して計算されます。

オフ = λv

どこ、
私 は固有値です
で は固有ベクトルです