4×4行列の行列式: 行列の行列式は線形代数の基本的な概念であり、行列から単一のスカラー値を導出するために不可欠です。 4×4 は 4 行 4 列の正方行列で、その行列式はこれから説明する式で求めることができます。
この記事では、 4 × 4 行列の定義と、4 × 4 行列の行列式を計算する段階的なプロセスをガイドします。さらに、この数学的演算の実際の応用も検討します。
目次
行列の行列式とは何ですか?
の 行列の行列式 の要素から計算できるスカラー値です。 正方行列 。これは、行列が可逆かどうかや、行列で表される線形変換のスケーリング係数など、行列に関する重要な情報を提供します。
などのさまざまな方法 補因子 行列のサイズと構造に応じて、行列の行列式を見つけるために拡張または行削減を使用できます。計算されると、行列式は行列を囲む det 記号または垂直バーで示されます。
4×4行列の行列式
4×4 行列は、4 行 4 列に配置された数値の長方形配列です。行列内の各要素は、行と列の位置によって識別されます。 4×4 行列の一般的な形式は次のようになります。
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
どこでiji にある要素を表します。番目行とj番目マトリックスの列。
4×4 行列は、コンピュータ グラフィックス、物理学、工学、数学などのさまざまな分野でよく使用されます。これらは、変換を表現し、連立一次方程式を解き、線形代数の演算を実行するために使用されます。
4×4行列の性質
4×4 行列のいくつかのプロパティを簡略化して説明します。
- 正方行列: 4×4 行列は同じ数の行と列を持ち、正方行列になります。
- 決定要因: 4×4 行列の行列式は、余因子拡張や行削減などの方法を使用して計算できます。これは、行列の可逆性と線形変換のスケーリング係数に関する情報を提供します。
- 逆: 4×4行列は 反転可能な 行列式がゼロ以外の場合。 4×4 行列の逆行列を使用すると、連立一次方程式を解き、行列で表される変換を元に戻すことができます。
- 転置： 4×4 行列の転置は、行と列を交換することで得られます。特定の計算や変換に役立つ場合があります。
- 固有値と固有ベクトル: 4×4 行列を分析して、その行列を見つけることができます。 固有値と固有ベクトル 、線形変換の下での行列のプロパティを表します。
- 対称： 特定のマトリックスに応じて、対称である、スキュー対称である、またはどちらでもないなどの対称性の特性を示す場合があります。
- 行列演算: 加算、減算、乗算、スカラー乗算などのさまざまな演算を、特定のルールとプロパティに従って 4x4 行列に対して実行できます。
詳細を読む: 行列式の性質
4×4行列式の行列式
任意の 4 × 4 行列の行列式、つまり、
それ(A) = a 十一 ・ それは 十一 ) – 12 ・ それは 12 ) + a 13 ・ それは 13 ) – 14 ・ それは 14 )
どこでAiji を削除して部分行列を表します番目行とj番目カラム。
4 × 4 行列の行列式はどうやって見つけますか?
4×4 行列の行列式を見つけるには、マイナーによる拡張、行の削減、特定のプロパティの適用など、さまざまな方法を使用できます。
一般的な方法の 1 つは、マイナーによる展開を使用することです。この場合、各要素に余因子を乗算し、その結果を合計することで、行または列に沿って展開します。このプロセスは、行列式を直接計算できる 2×2 部分行列に到達するまで再帰的に続きます。 4×4 行列の行列式を見つける方法を理解するために、例を考えてみましょう。
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
ステップ 1: 最初の行に沿って展開します。
it(A) = 2 · it(A 十一 ) – 1 · それ(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · それ(A 14 )
どこでAijは、i行j列を削除した部分行列を表す。
ステップ 2: 各 3×3 部分行列の行列式を計算します。
のために十一
⇒ |A十一| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)】
⇒ |A十一| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |A十一| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |A十一| = 10 + 26 + 4= 40
のために12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16 + 6= 10
スプリング初期化
のために13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22 = 30
のために14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
ステップ 3: 3×3 部分行列の行列式を展開式に代入します。
(A) = 2・40 – 1・10 + 3・30 – 4・28
ステップ 4: 最終的な行列式を計算します。
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
それ(A) = 48
したがって、指定された 4×4 行列の行列式は 48 です。
また、チェックしてください
- 2×2行列の行列式
- 3×3行列の行列式
4×4 行列の行列式の例
例 1: A =
解決：
まず最初の行に沿って展開します。
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) 次に、各 3×3 部分行列の行列式を計算します。
のために 十一 ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
Javaでのcsvファイルの読み込み= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
のために 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
のために 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
のために 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
ここで、3×3 部分行列の行列式を展開式に代入します。
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
したがって、行列 (A) の行列式は 24 になります。
例 2: 行列の行列式を計算する
解決：
行列の行列式 ( A ) を見つけるには、最初の行に沿ってマイナーによる展開法を使用します。
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ここで、3×3 部分行列の行列式を計算してみましょう。
スプリングモジュール
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
次に、これらの行列式を展開式に代入します。
it(A) = 2 · 52 - 1 · 60 - 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 - 60 - 132 - 32 = -120
したがって、行列 ( A ) の行列式は det(A) = -120 となります。
例 3: 行列 B の行列式を求めます =
解決：
行列 ( B ) の行列式を見つけるには、最初の行に沿ってマイナーによる展開法を使用します。
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} ここで、3×3 部分行列の行列式を計算してみましょう。
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
次に、これらの行列式を展開式に代入します。
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ 何でも
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
したがって、行列 ( B ) の行列式は det(B) = -19 となります。
4×4 行列の行列式練習問題
Q1: 次の 4×4 行列の行列式を計算します。
Q2: 行列の行列式を求めます。
Q3: 次の 4×4 行列の行列式を計算します。
Q4: 行列の行列式を決定します。
Q5: 行列の行列式を求めます。
4×4行列の行列式に関するFAQ
4×4行列の行列式はどうやって見つけますか?
4×4 行列の行列式を見つけるには、余因子展開や行削減手法などのさまざまな方法を使用できます。
4×4単位行列の行列式は何ですか?
4×4 単位行列の行列式は、すべての対角要素が 1 で残りが 0 である特殊なケースであるため、1 です。
余因子展開を使用して 4×4 行列の行列式を見つけるにはどうすればよいですか?
余因子展開を使用して 4 × 4 行列の行列式を決定するには、行列をより小さな 3 × 3 行列に分解し、余因子の公式を適用し、積を合計する必要があります。
行列式の式は何ですか?
行列式の式には、符号を考慮して、各行または列の要素とその余因子の積を合計することが含まれます。
行列式が負になることはありますか?
はい、行列式は、特定の行列とそのプロパティに応じて、負、正、またはゼロになります。
4×4行列は逆行列を持つことができますか?
4×4 行列は、行列式がゼロ以外の場合、逆行列を持つことができます。それ以外の場合、それは単数形であり、逆数がありません。
4×4行列が可逆であることをどうやって証明しますか?
4×4 行列が可逆であることを示すには、その行列式がゼロ以外であり、逆行列の存在を示していることを確認し、行削減などの追加の基準を使用して可逆性を検証します。