ドメインと範囲 |関数のドメインと範囲を見つける方法

関数のドメインと範囲: Domain と Range は、関数の入力値と出力値です。あ関数は、一連の入力とその出力の間の関係として定義されます。ここで、入力は出力を 1 つだけ持つことができます。つまり、ドメインは特定の範囲を生成できます。独立変数と従属変数の間の関係を示します。

関数は通常、y = f(x) で表されます。ここで、x は入力です。関数は、集合 X から別の集合 Y への関係 f であり、X の各要素は Y に 1 つの出力を持ち、f: X→Y と表されます。ここで、集合 X は関数のドメインと呼ばれ、集合 Y は関数の共ドメインと呼ばれます。すべての関数には、関数の定義に役立つドメイン、コドメイン、および範囲があります。

この記事では、関数のドメインと範囲、関数のドメインと範囲の計算方法、関数ワークシートのドメインと範囲、関数のドメインと範囲の例、関数のドメインと範囲について学びます。関数グラフなどの詳細。

ドメインと範囲とは何ですか?
ドメインと範囲の間隔表記
共同ドメインと範囲
関数のドメイン
関数のドメインを見つけるにはどうすればよいですか?
機能の範囲
関数の範囲を見つけるにはどうすればよいですか?
ドメインと範囲を見つける方法
関数のドメインと範囲の例
二次領域と範囲
指数関数の領域と範囲
三角関数の領域と範囲
逆三角関数の領域と範囲
絶対値関数の領域と範囲
平方根関数の定義域と範囲
有理関数の領域と範囲
ログ関数のドメインと範囲
最大整数関数の領域と範囲
関数グラフのドメインと範囲
関数ワークシートのドメインと範囲

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ドメインと範囲の練習問題
ドメインと範囲に関する解決された質問

ドメインと範囲とは何ですか?

のドメイン関数は、関数を定義できるすべての可能な値のセットとして定義されます。 Range は、特定のドメインの関数によって与えられる出力です。関数のコドメインは可能な結果のセットですが、関数の範囲またはイメージはコドメインのサブセットであり、ドメイン内の要素のイメージのセットです。たとえば、以下の図では、f(x) = x となります。³は、ドメインが集合 X であり、その共ドメインが集合 Y であり、範囲が {1, 8, 27, 64} である関数です。

ドメインと範囲

のドメイン関係も同じ方法で見つけることができます。リレーションは、ドメイン領域内の 1 つのオブジェクトがレンジ領域内の複数のオブジェクトにマップされる関数のタイプです。

与えられた関数 f(x) = x の場合³

f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
ドメイン = {1、2、3、4}
コドメイン = {1、2、3、4、8、9、16、23、27、64}
範囲 = {1、8、27、64}

ドメインと範囲の間隔表記

任意の関数のドメインと範囲は、間隔表記で簡単に記述することができます。関数 f(x) = sin x が与えられたとします。その場合、その定義域と範囲は次のように書かれます。

f(x) の領域 = (-∞, +∞)
f(x) = [-1, 1] の範囲

同様に、インターバル表記任意の関数のドメインと範囲を表すことができます。

ドメインと範囲の書き方

任意の関数のドメインと範囲は、上に示したように間隔表記を使用して簡単に表現できます。このように、括弧を使用して一連の数値を記述します。 {}、[]、() を使用して関数のドメインと範囲を表します。

共同ドメインと範囲

コドメインは関数の範囲を含む値のセットであり、追加の値をいくつか持つことができます。範囲はコドメインのサブセットです。これを例を使って説明すると、

与えられた関数 f(x) = cos x、f:R→R となると、

f(x) = R のコドメイン
R = (-1, 1) の範囲

関数のドメイン

関数のドメインは、関数を定義できるすべての可能な値のセットとして定義されます。さまざまな機能のドメインを見てみましょう。

一次関数、二次関数、三次関数などの多項式関数の定義域は、すべての実数 (R) の集合です。
対数関数 f(x) = log x の定義域は、x> 0 または (0, ∞) です。
平方根関数 f(x) = √x の定義域は、[0, ∞) として表される非負の実数のセットです。
指数関数の領域は、すべての実数 (R) の集合です。
有理関数は、分母の非ゼロ値に対してのみ定義されます。したがって、有理関数 y = f(x) の定義域を決定するには、分母 ≠ 0 を設定します。

関数のドメインを見つけるルール

関数のドメインを見つけるためのさまざまなルール。

多項式関数 (1 次、2 次、3 次など) 関数の領域は R (すべて実数) です。
平方根関数 √x の定義域は x ≥ 0 です。
指数関数の定義域は R です。
対数関数の定義域は x> 0 です。
有理関数の定義域 y = f(x)、分母 ≠ 0 であることがわかっています。

関数のドメインを見つけるにはどうすればよいですか?

関数のドメインを見つけるには、次の手順を実行します。

ステップ1： まず、指定された関数にすべての実数を含めることができるかどうかを確認します。

ステップ2： 次に、指定された関数の分数の分母にゼロ以外の値があり、分数の分母の下に負でない実数があるかどうかを確認します。

ステップ 3: 場合によっては、関数のドメインには特定の制限が適用されます。つまり、これらの制限は、特定の関数を定義できない値です。 例えば 、関数 f(x) = 2x + 1 の定義域はすべての実数 (R) の集合ですが、関数 f(x) = 1/ (2x + 1) の定義域はすべての実数の集合です。 -1/2を除く。

ステップ 4: 関数が定義される間隔が関数とともに記載される場合もあります。 例えば、 f (x) = 2x²+3、-5

上で説明したすべての手順を実行した後、残された一連の数値は関数の領域と見なされます。

ドメインの例

f(x) = 1/(x の定義域を求めます ² - 1)

解決：

考えると、

f(x) = 1/(x²- 1)
ここで、f(x) に x = -1, 1 を代入します。

f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞
したがって、-1 と 1 では、関数 f(x) は未定義ですが、すべての点で f(x) が定義されることは別です。したがって、f(x) の定義域は R – {-1, 1} となります。

機能の範囲

機能の範囲は関数のすべての出力のセットです。任意の関数 f: A→ B の場合、B 内の値のセットが関数の範囲になります。 f の場合: A→ B は f(x) = x となる関数です²A がすべての整数のセットである場合、関数の範囲は Range = {1, 4, 9, 16, ….} のセットになります。関数の範囲は関数の共通ドメインのサブセットであることに注意する必要があります。

関数の範囲を求める規則

関数の範囲を求めるルールは次のとおりです。

一次関数の場合、範囲は R です。
二次関数 y = a(x – h) の場合²+ k 範囲は次のとおりです。
- a> 0の場合、y ≥ k
- y ≤ k、a <0 の場合
平方根関数の場合、範囲は y ≥ 0 です。
指数関数の場合、範囲は y> 0 です。
対数関数の場合、範囲は R です。

関数の範囲を見つけるにはどうすればよいですか?

関数の範囲またはイメージは、共ドメインのサブセットであり、ドメイン内の要素のイメージのセットです。

1次ロジック

関数の範囲を見つけるには、次の手順を使用します。

関数 y = f(x) を考えてみましょう。

ステップ1： 指定された関数を一般的な表現形式、つまり y = f(x) で記述します。

ステップ2： これを x について解き、得られた関数を x = g(y) の形式で記述します。

ステップ 3: ここで、関数 x = g(y) の定義域は関数 y = f(x) の範囲になります。

このようにして、関数の範囲が計算されます。

範囲の例

関数 f(x) = 1/ (4x − 3) の範囲を求めます。

解決：

考えると、

f(x) = 1/ (4x − 3)
関数を f(x) = y = 1/ (4x − 3) とします。

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4y / (1 + 3y)

ここで、y = -1/3 の場合、y を除くすべての値に対して x が定義されていることがわかります。y = -1/3 では、x の未定義の値が得られます。

したがって、 f(x) = 1/ (4x − 3) の範囲は次のようになります。 (−∞、−1/3) IN (1/3、∞)

ドメインと範囲を見つける方法

ここで、特定の関数の定義域と範囲を計算するには、次の例を注意深く検討してください。

X = {1, 2, 3, 4, 5} および Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} の場合、関数は f として定義されます: X → Y 、f(x) = x²次の関数 f(x) の定義域と範囲を求めます。

ドメイン = すべての入力値 = X

範囲 = {1、4、9、16、25} = Y のサブセット

関数の定義域は関数に対して取得できる入力値であり、関数の範囲は関数が達成するすべての出力値のセットです。次に、以下に追加した例を使用して、関数のドメインと範囲を見つけます。

たとえば、関数 F: X → Y が与えられた場合、F(x) = y + 1、X = {1, 2, 3, 4, 5}、Y = {1, 2, 3, 4、5、6}。ここ、

F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5} の定義域
F(x) の範囲 = {2, 3, 4, 5, 6}

Y は F(x) のコドメインですが、範囲ではありません。

さまざまな領域と範囲関数の種類これらについては次のセクションで説明します。

関数のドメインと範囲の例

線形関数 ：のためにf(x)=2x+3、x と f(x) には制限がないため、ドメインと範囲はすべて実数です。
二次関数 : g(x)= の場合x^2−4、ドメインはすべて実数ですが、範囲はy≥−4出力が -4 未満になることはできないためです。
有理関数 : ℎ(x)= の場合1/x-2、定義域は x≠2 (2 を除くすべての実数)、範囲も ℎ(x)=0 の場合を除くすべての実数です。

二次領域と範囲

二次関数は次数 2 の多項式関数、つまり f(x): ax です。²+ bx = c = 0 は 2 次関数です。二次関数の定義域と範囲は次のとおりです。

f(x) の定義域: 実数の集合 = R

f(x) の範囲:

y ≥ k、a> 0 の場合、k は任意の定数
y ≤ k、a < 0 の場合、k は任意の定数

指数関数の領域と範囲

の指数関数と定義されている：

f: R → R、f(x) = a ^バツ

指数関数の定義域はすべて実数であり、指数関数は常に正の出力を与えるため、範囲はすべての正の実数のセットになります。

pd.merge

ドメイン =R
範囲 =R⁺

三角関数の領域と範囲

のために三角関数、定義域はすべての実数 (一部の関数の一部の値を除く) のセットであり、三角関数の範囲は三角関数ごとに異なります。

正弦関数の範囲 = [-1, 1]
コサイン関数の範囲 = [-1, 1]
コセカント関数の範囲 = (−∞,−1]∪[1,+∞)
セカント関数の範囲 = (−∞,−1]∪[1,+∞)

タンジェント関数とコタンジェント関数の範囲は異なります。

タンジェント関数の範囲 = [-∞, ∞]
コタンジェント関数の範囲 = [-∞, ∞]

これは次の表に要約できます。

三角関数	ドメイン	範囲
私は罪を犯します	R	[-十一]
cosθ	R	[-十一]
タンθ	R – (2n + 1)π/2	R
秒θ	R – (2n + 1)π/2	(−∞,−1]∪[1,+∞)
コ秒θ	R – nπ	(−∞,−1]∪[1,+∞)
ベビーベッド私	R – nπ	R

逆三角関数の領域と範囲

逆正弦関数

ドメイン: [-1, 1] & 範囲: [- 円周率 /2 、 円周率 /2]

逆コサイン関数

ドメイン: [-1, 1] & 範囲: [0 , 円周率 】

逆正接関数

ドメイン： (-infty, infty) 範囲: (-π/2、π/2)

逆余接関数

ドメイン： (-infty, infty) 範囲: (0 , 円周率 )

絶対値関数の領域と範囲

モジュラス関数とも呼ばれる絶対関数は、すべての実数に対して定義される関数ですが、その出力は正の実数のみであり、絶対関数は正の出力のみを与えます。

絶対関数は次のように定義されます。

f: R → R、f(x) = |ax + b|

したがって、絶対値関数の領域と範囲は次のようになります。

ドメイン =R
範囲 =R⁺

平方根関数の定義域と範囲

平方根関数の場合、ドメインと範囲は次のように計算されます。

平方根関数が f(x) = √(ax + b) であると仮定します。

負の数の平方根は定義されていないことがわかっているため、平方根関数の定義域は次のようになります。

ジャバFX

ドメイン = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

次に、平方根関数の範囲についてですが、絶対平方根は正の値のみを与えることがわかっているため、範囲はすべて正の実数になります。

範囲 =R⁺

有理関数の領域と範囲

あ有理関数は、P(x)/Q(x) として表される関数です。ここで、P(x) と Q(x) は多項式関数であり、Q(x) は決してゼロにはなりません。有理関数の定義域は、Q(x) がゼロになることのない x の値です。そして、有理関数の範囲は、y = P(x)/Q(x) において、x のさまざまな値を使用して求められる y の値です。

ログ関数のドメインと範囲

ログ機能または対数関数は、y = ln x の形式の関数であり、log 関数のドメイン nd 範囲は次のとおりです。

対数関数の定義域: (0, ∞)
Log関数の範囲：（-∞、+∞）

最大整数関数の領域と範囲

最大整数関数はステップ関数とも呼ばれ、指定された数値以下の最も近い整数として出力を与える関数です。

最大整数関数の定義域: R
最大整数関数の範囲: Z

関数グラフのドメインと範囲

関数のグラフが与えられている場合、領域と範囲を見つけるのは非常に簡単な作業です。任意の曲線が与えられたとします。その場合、その曲線が関数であるかどうかを見つけることが最優先事項であり、これは縦線テスト。次に、曲線が y = f(x) の形式で与えられる場合、x 軸上のグラフへの射影は関数の領域を示し、y 軸上のグラフの射影は関数の範囲を示します。。