大きさだけでなく方向によっても特徴づけられる量をベクトルと呼びます。速度、力、加速度、運動量などはベクトルです。

ベクトルは 2 つの方法で乗算できます。

• スカラー積またはドット積
• ベクトル積または外積

目次

• ベクトルのスカラー積/ドット積
• 1 つのベクトルを他のベクトルに投影
• スカラー積のプロパティ
• 内積に基づく不等式
• ベクトルの外積/ベクトル積
• 外積の性質
• 行列式形式の外積
• ドットとクロス積
• ベクトルのドット積とクロス積に関する FAQ

ベクトルのスカラー積/ドット積

2 つのベクトルの結果として得られるスカラー積/ドット積は、常にスカラー量です。 2 つのベクトルを考えます ある そして b 。スカラー積は、a、b、およびこれらのベクトル間の角度の余弦の大きさの積として計算されます。

Javaの部分文字列関数

スカラー積 = |a||b| cosα

ここ、

• |a| = ベクトルの大きさ ああ、
• |b| = ベクトルの大きさ b 、 そして
• α = ベクトル間の角度。

ベクトル a と b の間に角度 α がある

1 つのベクトルを他のベクトルに投影

ベクター ある 以下に示すように、直線 l に投影できます。

CD = ベクトル a のベクトル b への投影

上の図から、あるベクトルを別のベクトルの上に投影できることは明らかです。 AC はベクトル A の大きさです。上の図では、AD は線 l に対して垂直に描かれています。 CD はベクトルの投影を表します ある ベクトル上 b 。

したがって、三角形 ACD は直角三角形であり、三角関数の公式を適用できます。

α が角度 ACD の尺度である場合、

cos α = CD/AC

または、 CD = AC cos a

図から、CD がベクトル a のベクトル b への射影であることは明らかです。

したがって、一方のベクトルは、それらの間の角度の余弦によって、もう一方のベクトルの上に投影できると結論付けることができます。

スカラー積のプロパティ

• 2 つのベクトルの内積は常に実数 (スカラー) になります。
• スカラー積は可換です。つまり a.b =b.a= |a||b| です。 cosα
• α が 90° の場合、cos(90) = 0 のようにスカラー積は 0 になります。つまり、x、y 方向の単位ベクトルのスカラー積は 0 になります。
• α が 0° の場合、スカラー積は次の大きさの積になります。 ある そして b |a||b|。
• 単位ベクトルとそれ自体の内積は 1 です。
• ベクトル a とそれ自体の内積は |a| です。²
• αが180の場合⁰、ベクトル a と b のスカラー積は -|a||b| です。
• スカラー積は加算よりも分配的です

ａ． ( b + c ) = a.b + 交流

• 任意のスカラー k および m について、次のようになります。

私 ａ． (m b ) = km a.b

• ベクトルのコンポーネント形式が次のように与えられるとします。

ある = a₁x + a₂そして+₃と

b = b₁x + b₂y + b₃と

スカラー積は次のように与えられます。

a.b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

• 次の場合、スカラー積はゼロになります。
  • ベクトル a の大きさはゼロです
  • ベクトル b の大きさはゼロです
  • ベクトル a と b は互いに垂直です

内積に基づく不等式

ベクトルの内積に基づくさまざまな不等式があります。次のとおりです。

• コーシー – シュワルツの不等式
• 三角不等式

以下にこれらについて詳しく説明します。

コーシー – シュワルツの不等式

この原則によれば、任意の 2 つのベクトルに対して、 ある そして b 、内積の大きさは常にベクトル a とベクトル b の大きさの積以下になります。

|a.b| ≤ |a| |b|

証拠：

a.b = |a| であるため、 |b| cosα

私たちはそれを知っています 0

したがって、|a.b| と結論付けます。 ≤ |a| |b|

三角不等式

任意の 2 つのベクトルについて ある そして b 、私たちはいつも持っています

| ある + b | ≤ | ある | + | b |

三角不等式

証拠：

| ある + b |²=| ある + b || ある + b |

= ああ + a.b + b.a + b.b

= | ある |²+2 a.b +| b |²(内積は可換です)

≤ | ある |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

これは次のことを証明します | ある + b | ≤ | ある | + | b|

Javaでデータベースに接続する

ベクトルの内積の例

例 1. |a|=6、|b|=3、α = 60°である 2 つのベクトルを考えます。内積を求めます。

解決：

a.b = |a| |b| cosα

それで、 a.b = 6.3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

例 2. ベクトル a = 3i+j-4k とベクトル b = 8i-8j+4k が垂直であることを証明します。

解決 :

ベクトルの内積がゼロの場合、ベクトルは垂直であることがわかります。

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

スカラー積はゼロであるため、ベクトルは互いに垂直であると結論付けることができます。

ベクトルの外積/ベクトル積

読者は、3 次元の右手直交座標系についてはすでによく知っています。このシステムでは、x 軸が反時計回りに回転して正の y 軸になることは、右巻き (標準) ネジが図に示すように正の z 軸の方向に進むことを示します。

ヒープソートアルゴリズム

3D直交座標系

の 2 つのベクトルのベクトル積または外積 ある そして b それらの間の角度 α は数学的に次のように計算されます。

a × b = |a| |b| αなし

外積は指定された方向のベクトルであることに注意してください。合成物は常に a と b の両方に対して垂直になります。

また、2 つのベクトルが与えられた場合、mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)そしてmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)、 a × b で示される外積は次のように計算されます。

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

a と b が平行ベクトルの場合、sin(0) = 0 として、結果はゼロになります。

外積の性質

• 外積はベクトル量を生成します。合成物は常に a と b の両方に対して垂直になります。
• 平行ベクトル/共線ベクトルの外積は、sin(0) = 0 としてゼロになります。

i × i = j × j = k × k = 0

• それぞれ単位の大きさを持つ 2 つの相互に垂直なベクトルの外積は 1 です。 (sin(0)=1なので)
• 外積は可換ではありません。

a × b は b × a と等しくありません

• 外積は加算よりも分布的です

× ( b + c ) = ある ×b + ある × c

• k がスカラーの場合、

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• 時計回りに移動して単位ベクトルの任意の 2 つのペアの外積を取ると 3 番目の結果が得られ、反時計回りに移動すると負の結果が得られます。

時計回りと反時計回りの外積

次のような結果が得られます。

行列式形式の外積

ベクトルの場合 ある として表されます a = a1x + a2y + a3z そしてベクトル b として表されます b = b1x + b2y + b3z

次に外積 a × b 行列式を使用して計算できます

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

それから、 a×b = x(a₂b₃– b₂ある₃) + y(a₃b₁–₁b₃) + z(a₁b₂–₂b₁)

a と b が平行四辺形 OXYZ の隣接する辺である場合、α はベクトル a と b の間の角度です。

このとき、平行四辺形の面積は | で与えられます。 a×b | = |a| |b|sin.a

平行四辺形の隣接する辺としてのベクトル a と b

例 Cの ベクトルのロス積

例 1. 2 つのベクトル a と b の大きさがそれぞれ 5 と 10 である場合、その外積を求めます。その間の角度が 30° であると仮定します。

解決：

そうでなければバッシュする

a×b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 に垂直 ある そして b

例 2. 隣接する辺が次のような平行四辺形の面積を求めます。

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

解決 :

面積は隣接する辺の外積を求めることによって計算されます。

a × b = x(a₂b₃– b₂ある₃) + y(a₃b₁–₁b₃) + z(a₁b₂–₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

したがって、面積の大きさは、sqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

ドットとクロス積

ベクトルの内積と外積の一般的な違いのいくつかは次のとおりです。

続きを読む、

• ベクトル代数
• スカラーとベクトル
• 2 つのベクトルの内積
• ベクトルの積

ベクトルのドット積とクロス積に関する FAQ

内積は幾何学的に何を表しますか?

2 つのベクトルの内積は、一方のベクトルのもう一方のベクトルへの投影を表し、その大きさとそれらの間の角度の余弦によってスケールされます。

内積は幾何学でどのように使用されますか?

これは、ベクトル間の角度を見つけ、直交ベクトルを決定し、投影を計算し、ベクトル間の類似性を測定するために使用されます。

2 つのベクトルの内積がゼロの場合はどうなりますか?

内積が 0 の場合、ベクトルが互いに直交 (垂直) していることを意味します。

外積は幾何学的に何を表しますか?

2 つのベクトルの外積は、元のベクトルを含む平面に垂直なベクトルを表します。その大きさは、ベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。

外積の方向はどのようにして求めますか?

右手の法則を使用します。右手の親指を最初のベクトルの方向に向け、人差し指を 2 番目のベクトルの方向に向け、中指は外積の方向を指します。