等価クラス は、同値関係によって定義される特定の同値概念に基づくセットの要素のグループです。同値関係とは、再帰性、対称性、推移性の 3 つの性質を満たす関係です。同値クラスは、集合 S を素の部分集合に分割します。各サブセットは、所定の等価関係に基づいて相互に関連する要素で構成されます。

この記事では、同値クラスの概念について、その定義、例、プロパティ、解決例などを含めて十分に詳しく説明します。

目次

• 等価クラスとは何ですか?
• 等価クラスの例
• 同値クラスのプロパティ
• 等価クラスとパーティション

等価クラスとは何ですか?

等価クラスは、互いに等しいすべての要素を含む S のサブセットに付ける名前です。同等は、同等関係と呼ばれる特定の関係に依存します。 2 つの要素間に等価関係がある場合、それらは等価と呼ばれます。

等価クラスの定義

集合 S 上の同値関係が与えられると、S の要素 a に関する同値クラスは、a に関連する S のすべての要素の集合です。つまり、

[a] OR x は a に関連しています

たとえば、整数 ℤ の集合と、n を法とする合同によって定義される同値関係を考えてみましょう。 2 つの整数 a と b は、n で割ったときの余りが同じであれば、(a ≡ b mod(n) と表されます。この場合、整数 a の同値類は、次の値を持つすべての整数の集合です。 aをnで割ったときの余りと同じです。

等価関係とは何ですか?

任意の関係 R は、次の 3 つの条件を満たす場合に限り、等価関係であると言われます。

• 反射性: どの要素 a についても、a はそれ自体に関連しています。
• 対称： a が b に関連している場合、b は a に関連しています。
• 推移性: a が b に関連し、b が c に関連している場合、a は c に関連します。

詳しくはこちら 等価関係 。

等価関係の例としては、次のようなものがあります。

セット上の平等: X を任意の集合とし、a、b について a = b の場合に限り、a R b となるような関係 R を X に定義します。 ϵ バツ。

• 反射性: ごとに ϵ X、a = a (自明の理)。
• 対称： a = b の場合、b = a (自明ながら真)。
• 推移性: a = b かつ b = c の場合、a = c (自明ながら真) になります。

合同法 n: n を正の整数とし、a – b が n で割り切れる場合にのみ a R b となるような関係 R を整数 ℤ に対して定義します。

• 反射性: ごとに ϵ ℤ、a – a = 0 は n で割り切れます。
• 対称： a – b が n で割り切れる場合、-(a – b) = b – a も n で割り切れます。
• 推移性: a – b が n で割り切れ、b – c が n で割り切れる場合、a – c も n で割り切れます。

等価クラスの例

同値関係のよく知られた例は、等しい (=) 関係です。言い換えれば、指定されたセットの 2 つの要素が同じ同値クラスに属している場合、それらは互いに等価です。等価関係は、次の例で説明できます。

整数の同値関係

等価関係: 合同法 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• 0 の等価クラス: [0] = {。 。 .、-10、-5、0、5、10、. 。 。}
• 等価クラス 1: [1] = {。 。 .、-9、-4、1、6、11、. 。 。}
• 2 の等価クラス: [2] = {。 。 .、-8、-3、2、7、12、. 。 。}
• 3 の等価クラス: [3] = {。 。 .、-7、-2、3、8、13、. 。 。}
• 4 の等価クラス: [4] = {。 。 .、-6、-1、4、9、14、. 。 。}

実数の同値関係

等価関係: 絶対差 (a ~ b if |a – b| <1)

• 0 の等価クラス: [0] = (-0.5, 0.5)
• 等価クラス 1: [1] = (0.5, 1.5)
• 2 の等価クラス: [2] = (1.5, 2.5)
• 3 の等価クラス: [3] = (2.5, 3.5)

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同値クラスのプロパティ

等価クラスのプロパティは次のとおりです。

• すべての要素は、厳密に 1 つの同値クラスに属します。
• 同値クラスは互いに素です。つまり、2 つの同値クラスの共通部分は null セットになります。
• すべての同値クラスの和集合が元のセットです。
• 2 つの要素は、それらの等価クラスが等しい場合にのみ等価です。

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• 集合の和集合
• 集合の交差
• 素集合

等価クラスとパーティション

同値関係によって関連付けられたセット内の要素のグループに対して、重複することなくセット全体をカバーするこれらの同値クラスのコレクションはパーティションと呼ばれます。

等価クラスとパーティションの違い

等価性クラスとパーティションの主な違いを次の表に示します。

同値クラスに関する解決例

例 1: 関係 R が、関係 R = (p, q): によって与えられる集合 P= { 3, 4, 5,6 } 内の同値型であることを証明します。

解決：

与えられる: R = (p, q):。ここで、p、qはPに属します。

再帰的プロパティ

指定された関係 |p – p| から= | 0 |=0。

• そして 0 は常に偶数です。
• したがって、|p – p|は均等です。
• したがって、(p, p) は R に関係します。

したがって、R は再帰的です。

対称性

与えられた関係 |p – q| から= |q – p|。

• |p – q| であることがわかっています。 = |-(q – p)|= |q – p|
• したがって |p – q|は均等です。
• 次へ |q – p|も均等です。
• したがって、(p, q) ∈ R であれば、(q, p) も R に属します。

したがって、R は対称です。

推移的プロパティ

• |p – q| の場合が偶数の場合、(p-q) は偶数です。
• 同様に、|q-r| の場合、が偶数であれば、(q-r) も偶数になります。
• 偶数の合計は偶数すぎます。
• したがって、p – q+ q-r が偶数であると扱うことができます。
• 次に、p – r はさらに均等になります。

それに応じて、

• |p – q|と |q-r|が偶数の場合、|p – r|は均等です。
• したがって、(p, q) ∈ R および (q, r) ∈ R の場合、(p, r) も R を指します。

したがって、R は推移的です。

例 2: A = {2, 3, 4, 5} および R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3)、(4, 2)、(4, 4)}。

解決：

与えられた場合: A = {2, 3, 4, 5} および

関係 R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}。

R が同値関係であるためには、R は再帰的、対称的、推移的という 3 つの性質を満たす必要があります。

反射的 : (5, 5)、(2, 2)、(3, 3)、および (4, 4) ∈ R であるため、関係 R は再帰的です。

対称 : 関係 R は、(a, b) ∈ R である場合と同様に対称です。(b, a) も R に関係します。つまり、(3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R です。

推移的 : (a, b) と (b, c) が R に関係するときは常に、(a, c) も R に関係するので、関係 R は推移的です。つまり、(3, 5) ∈ R および (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

したがって、R は再帰的、対称的、推移的です。

したがって、R は等価関係です。

同値類に関する練習問題

問題 1: a+b が偶数の場合は aRb。同値関係とそのプロパティかどうかを判断します。

シュロカ・メータ

問題 2: x と y の誕生月が同じ場合は xSy。同値関係かどうかを解析します。

問題 3: A = {2, 3, 4, 5} および R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) について考えてみましょう。 )、(4, 2)、(4, 4)}。 R が同値関係タイプであることを確認します。

問題 4: 関係 R が、関係 R = is Even によって与えられる集合 P= { 3, 4, 5,6 } 内の同値型であることを証明します。

同等クラス: よくある質問

1. 等価クラスとは何ですか?

同値クラスはセット内のサブセットであり、特定の同値関係に基づいて互いに等しいすべての要素をグループ化することによって形成されます。これは、その関係によって等しいとみなされるすべてのメンバーを表します。

2. 等価クラスの記号とは何ですか?

同値クラスの記号は通常 [a] と書かれます。ここで、a はクラスの代表要素です。この表記は、特定の同値関係の下で a と等価なすべての要素の集合を表します。

3. セットの同値クラスはどのように見つけますか?

セットの同値クラスを見つけるには、次の手順に従います。

ステップ1： 等価関係を定義します。

ステップ2： セットから要素を選択します。

ステップ 3: 選択した要素と同等の要素を特定します。

ステップ 4: 選択した要素と同等のすべての要素を含む等価クラスを形成します。

4. 等価クラスとパーティションの違いは何ですか?

同値クラスは同値関係によって形成されるサブセットであり、パーティションはセット全体をカバーする重複しないサブセットです。すべての同値クラスはパーティション内のサブセットですが、すべてのパーティションが同値関係から生じるわけではありません。

5. 等価関係とは何ですか?

セットを素のサブセットに分割する、再帰的、対称的、推移的な関係。