述語論理は、変数で構成される命題である述語を扱います。
述語ロジック - 定義
述語は、特定のドメインで決定される 1 つ以上の変数の式です。変数を含む述語は、変数に値を認可するか、変数を定量化することによって命題にすることができます。
以下に述語の例をいくつか示します。- E(x, y) が「x = y」を表すと考えてください。
- X(a, b, c) が「a + b + c = 0」を表すとします。
- M(x, y) が「x は y と結婚している」ことを表すと考えてください。
数量詞：
述語の変数は量指定子によって量化されます。述語ロジックには、Existential Quantifier と Universal Quantifier の 2 種類の量指定子があります。
存在量指定子:
p(x) が宇宙 U にわたる命題である場合、それは ∃x p(x) と表され、「p(x) が true となるような変数 x の宇宙には少なくとも 1 つの値が存在します。」と読み取られます。量指定子 ∃ は存在量指定子と呼ばれます。
存在量指定子を使用して命題を書く方法はいくつかあります。
(∃x∈A)p(x) または ∃x∈A で、p (x) または (∃x)p(x) または p(x) がいくつかの x ∈A に対して真になります。
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ユニバーサル数量子:
p(x) が宇宙 U に関する命題である場合、それは ∀x,p(x) と表され、「すべての x∈U について、p(x) は真です。」と読み取られます。量指定子 ∀ は、ユニバーサル量指定子と呼ばれます。
汎用数量指定子を使用して命題を記述する方法はいくつかあります。
∀x∈A,p(x) または p(x)、∀x ∈A または ∀x,p(x) または p(x) は、すべての x ∈A に当てはまります。
数量化された命題の否定:
数量化された命題を否定するとき、つまり全称的に数量化された命題が否定されるとき、存在的に数量化された命題が得られ、存在的に数量化された命題が否定されると全称的に数量化された命題が得られます。
数量化された命題の否定に関する 2 つの規則は次のとおりです。これらはドモルガンの法則とも呼ばれます。
例: 次の命題をそれぞれ否定します。
1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)
太陽： ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨~∃yq (y) (∴~(p∧q)=~p∨~q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y~q(y)
2. (∃x∈U) (x+6=25)
太陽： ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25
3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)
太陽： ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x 〜 p(x)∧∃y〜q(y))
複数の量指定子を含む命題:
複数の変数を持つ命題は、複数の数量指定子を使用して定量化できます。複数の全称量指定子は、結果として得られる命題の意味を変えることなく、任意の順序で配置できます。また、命題の意味を変えることなく、複数の存在量指定子を任意の順序で配置できます。
全称量指定子と存在量指定子の両方を含む命題では、これらの量指定子の順序は、命題の意味を変更することなく交換できません。たとえば、命題 ∃x ∀ y p(x,y) は、「p となるような x が存在する」ことを意味します。 (x, y) はすべての y に対して true です。
例： 以下のそれぞれの否定を書きます。結果のステートメントが true か false かを判断します。 U = R と仮定します。
1.∀ x ∃ m(x2 太陽： ∀ x ∃ m(x の否定2 2. ∃ m∀ x(x2 太陽： ∃ m ∀ x (x の否定)2