行列のランク は、その列によって形成されるベクトル空間の次元として定義されます。 行列のランク は、方程式系の解を見つけられるかどうかを知るのに役立つため、線形代数の分野では非常に重要な概念です。行列のランクは、そのベクトル空間の次元を知るのにも役立ちます。
この記事では、行列のランクの概念について、その定義、行列のランクの計算方法、無効、およびランクとの関係を含めて詳しく説明します。また、行列のランクに基づいていくつかの問題を解決する方法も学びます。それでは、まず行列のランクの定義から始めましょう。
目次
マトリックスのランクとは何ですか?
行列のランクは線形代数の基本概念であり、行列内の線形に独立した行または列の最大数を測定します。言い換えれば、行列の行または列のうちの何行が役に立たず、行列の全体的な情報または次元に寄与しているかを示します。行列のランクを定義しましょう。
行列定義のランク
行列のランクは、行列内の線形に独立した行の数として定義されます。 マトリックス 。
ラドヤード・キプリングの言葉を言い換えると
これは、ρ(A) を使用して表されます。ここで、A は任意の行列です。したがって、行列の行数は行列のランクの制限になります。つまり、行列のランクは行列内の総行数を超えることはできません。
たとえば、行列が 3×3 程度の場合、行列の最大ランクは 3 になります。
注記： 行列のすべての行の要素が 0 である場合、行列のランクは 0 であると言われます。
行列の無効性
特定の行列において、ヌル空間内のベクトルの数は、行列の無効と呼ばれます。または、指定された行列のヌル空間の次元として定義することもできます。
行列内の列の合計 = ランク + Nullity
詳しくはこちら 順位ヌルリティ定理 。
行列のランクを計算するには?
任意の行列のランクを取得するために使用できるメソッドが 3 つあります。これらの方法は次のとおりです。
- マイナーメソッド
- エシュロンフォームの使用
- 標準形式の使用
これらの方法について詳しく説明します。
マイナーメソッド
前提条件: マトリックスの未成年者
マイナー法を使用して行列のランクを見つけるには、次の手順に従います。
- 行列の行列式を計算します (A とします)。 det(A) ≠ 0 の場合、行列 A の順位 = 行列 A の次数になります。
- det(A) = 0 の場合、行列のランクは、行列のゼロ以外の可能な最大のマイナーの次数に等しくなります。
マイナーメソッドを使用して行列のランクを見つける方法を理解しましょう。
例: 行列の順位を求める
与えられた
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}
- ステップ 1: A の行列式を計算する
it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)
それ(A) = -13 + 28 + 9 = 24
- det(A) ≠ 0 であるため、ρ(A) = A の次数 = 3
エシュロンフォームの使用
行列の次数が非常に大きい場合、マイナーな方法は非常に退屈になります。したがって、この場合は、行列を Echelon Form に変換します。にあるマトリックス 上三角フォームまたは下三角フォーム エシュロン形式であると考えられます。行列は、次の方法でエシュロン形式に変換できます。 基本的な行操作 。 Echelon 形式を使用して行列のランクを計算するには、次の手順に従います。
- 指定された行列をエシュロン形式に変換します。
- 行列のエシュロン形式で取得された非ゼロ行の数が行列のランクです。
マイナーメソッドを使用して行列のランクを見つける方法を理解しましょう。
例: 行列の順位を求める
与えられた
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
- ステップ 1: A をエシェロン形式に変換する
Rを適用する2=R2– 4R1
Rを適用する3=R3– 7R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix} Rを適用する3=R3– 2R2
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 行列 A は下三角形式になっているため、エシュロン形式になります。
- ステップ 2: A 内の非ゼロ行の数 = 2。したがって、ρ(A) = 2
標準形式の使用
行列が次の形式に還元できる場合、行列は標準形式であると言われます。
マイナーメソッドを使用して行列のランクを見つける方法を理解しましょう。
例: 行列の順位を求める
与えられた
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix} Rを適用する2=R2– R1、R3=R3– 2R1とR4=R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix} Rを適用する1=R1– 2R2とR4=R4–R2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Rを適用する1=R1+R3とR2=R2–R3
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Cを適用4→C4-2C1
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} したがって、A は次のように書くことができます
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} 。したがって、ρ(A) = 3
行列のランクのプロパティ
行列のランクの性質は次のとおりです。
- 行列が非特異行列の場合、行列のランクは行列の次数と等しくなります。
- 行列がエシュロン形式の場合、行列のランクはゼロ以外の行の数に等しくなります。
- 行列のランクは、正規形式の場合、その中の単位行列の次数と等しくなります。
- マトリックスのランク
- マトリックスのランク
- 単位行列のランクは単位行列の次数と同じです。
- ゼロ行列またはヌル行列のランクはゼロです。
続きを読む、
月に何週間
- 行列の種類
- 行列の転置
- 逆行列
行列のランクの例
そして 例 1: 行列の順位を求める
解決：
与えられた
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix} ステップ 1: A の行列式を計算する
it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)
it(A) = 13 – 28 – 9 = -24
det(A) ≠ 0 であるため、ρ(A) = A の次数 = 3
例 2. 行列のランクを求める
解決：
与えられた
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix} ステップ 1: A の行列式を計算する
it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)
it(A) = -384 + 672 – 72 = 216
det(A) ≠ 0 であるため、ρ(A) = A の次数 = 3
例 3. 行列のランクを求める
文字列をJavaの整数に変換
解決：
与えられた
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix} ステップ 1: A をエシェロン形式に変換する
Rを適用する2=R2– 4R1
Rを適用する3=R3– 7R1
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix} Rを適用する3=R3– 2R2
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 行列 A は下三角形式になっているため、エシュロン形式になります。
ステップ 2: A 内の非ゼロ行の数 = 2。したがって、ρ(A) = 2
例 4. 行列のランクを求める
解決：
与えられた
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix} ステップ 1: A をエシェロン形式に変換する
Rを適用する2=R2– 4R1
Rを適用する3=R3– 7R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix} Rを適用する3=R3– 2R2
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix} 行列 A は下三角形式になっているため、エシュロン形式になります。
ステップ 2: A 内の非ゼロ行の数 = 2。したがって、ρ(A) = 2
例 5. 行列のランクを求める
解決：
与えられた
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix} Rを適用する2=R2–R1、R3=R3– 2R1とR4=R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix} Rを適用する1=R1– 2R2そしてR4 = R4–R2
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Rを適用する1=R1+R3とR2=R2–R3
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Cを適用4→C4-2℃1
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Rを適用する1=R1/2、R2=R2/2、R3=R3/2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} したがって、A は次のように書くことができます
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} したがって、ρ(A) = 3
マトリックスのランク – FAQ
行列のランクを定義します。
行列のランクは、行列内の線形に独立した行の数として定義されます。これは、ρ(A) を使用して表されます。ここで、A は任意の行列です。
行列のランクを見つけるにはどうすればよいですか?
マトリックスのランクは、次のようなさまざまな方法を使用して計算できます。
- マイナーメソッド
- エシュロンフォームの使用
- 標準形式の使用
行列の行列式がゼロに等しくない場合、行列の順位は何ですか?
行列の行列式がゼロの場合、行列のランクは行列の次数と等しくなります。
マトリックスがエシュロン形式になると言われるのはいつですか?
上三角形式または下三角形式の行列は、エシュロン形式であると言われます。
行列の正規形とは何ですか?
次のように書ける場合、行列は正規形であると言われます。
egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} 私はどこでrは次数「r」の単位行列です。
Null行列のランクとは何ですか?
ヌル行列のランクはゼロです。
恒等行列のランクとは何ですか?
単位行列のランクは行列の次数と同じです。
太字のテキストCSS
行列のヌル度とランクの関係は何ですか?
マトリックスの無効とランクの関係は次のとおりです。
行列内の列の合計 = ランク + Nullity