数学における部分集合 は、集合と同様に、集合論の研究における中心的な概念です。 {x, y, z} のように中括弧で囲まれた要素、オブジェクト、またはメンバーのグループは、 セット 、セットの各メンバーは一意です。したがって、{x, y, z} のセットの場合、考えられるサブセットは {}、{x}、{y}、{z}、{x, y}、{y, z}、{z, x} または { x、y、z}。セットを定義する場合、その要素は実数、定数、変数、またはその他のオブジェクトにすることもできます。
この記事では、サブセットの概念を詳細に検討し、学術レベルに関係なく、記事を読むすべての読者が簡単に理解できるようにしています。この記事では、その意味、定義、シンボル、例などのすべてのサブトピックが、豊富な例とともに取り上げられています。それでは、集合論の世界への旅を始めて、このサブセットの概念を理解しましょう。
この記事では、以下について詳しく説明しました。 数学におけるサブセット、数学におけるスーパーセット、適切なサブセット、不適切なサブセットとは何かを例と FAQ で説明します。
目次
数学における部分集合とは何ですか?
セット A のすべての要素がセット B に含まれる場合、セット 'A' はセット 'B' のサブセットです。また、サブセットのすべての要素がセット B に含まれる特定の場合には、サブセットはセットと等しくなります。セット。
サブセットをよりよく理解するために、セット A が奇数のコレクションであり、セット B が {1,3,5} で構成されていると考えてみましょう。したがって、ここで B は A のサブセットであり、A は B のスーパーセットです。
例えば： セット A に {リンゴ、バナナ} が含まれ、セット B に {すべての果物} が含まれる場合、A は B のサブセットになります。
理解を深めるために、もう 1 つの例を考えてみましょう。
例: A = {a、e、i、o、u} および B = {すべてのアルファベット} の場合、どれがサブセットでどれがスーパーセットであるかを決定します。
答え：
コアJava
ここで、A にはアルファベットの一部であるすべての母音要素が含まれます。したがって、ここで A は B のサブセットであり、B は A のスーパーセットです。
サブセットの定義
数学的には、セット A のすべてのコンポーネントがセット B にも存在する場合、セット A はセット B のサブセットであると考えられます。したがって、サブセットは任意のセットのサブグループです。つまり、セット A はセット B に含まれています。
例えば： セット A = {1, 2, 3} およびセット B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} の場合、セット A 内のすべての要素が利用可能なため、セット A はセット B のサブセットであると言えます。セットBでは。
サブセットの意味
要素が包含集合のすべての要素である集合が部分集合の意味です。 X が国のすべての川の名前を含むような集合 X を考えてみましょう。別のセット Y には、北インドの川の名前が含まれています。北インドのすべての川も我が国の川になるため、ここで y は x の部分集合になります。したがって、Y は X のサブセットです。どのセットにも明確な数の個別または一意のサブセットしか存在しないため、残りは無関係で反復的です。
例: セット Q = {1, 2, 3} のすべてのサブセットをリストします。
答え：
Q のサブセットは、{ }、{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{2, 3}、{1, 3}、および {1, 2, 3} です。
サブセットシンボル
サブセットは記号で示され、「のサブセットである」と読み取られます。 集合論 。サブセットは⊆で与えられる記号で表されます。サブセットは、この記号を使用して次のように表現できます。
A ⊆ B これは、セット A がセット B のサブセットであることを意味します。
クラスタリング
サブセットの例
セット A がセット B のサブセットであるために必要なのは、A のすべての要素が B に存在することだけです。これに基づいたサブセットの例をいくつか示します。
- A = {2, 3, 10} は B = {1, 2, 3, 4, 10} のサブセットです。
- P = すべての素数のセットは次の部分集合です。 N = すべての自然数の集合、および
- X = {a, e, i, o ,u} は母音の集合であり、 Y = Set of all Alphabets のサブセットです。
空のセット () と同様に、すべてのセットはそれ自体のサブセットであることに注意してください。
例: null Set を任意のセットのサブセットにすることはできますか?
答え：
Null はすべてのセットのサブセットです。デフォルトでは、すべてのセットに null セットと呼ばれる要素が含まれているという事実が考慮されます。
実数の部分集合
10 進数として表現できる実数は、さまざまなカテゴリに分類されます。あなたは日常生活の中で、分数、小数、数の数え方にすでに慣れているでしょう。次の数値は実数のサブセットとみなされます。
- 有理数 : 分数 p/q として表現できる任意の数。p と q は両方とも正の整数です。これらは、終端のない繰り返し小数と、10 進数形式の終端小数です。例：-5/9、1/8
- 無理数 : これらの数値は、10 進数で表すと終了したり繰り返されたりしません。 EXE。
- 整数 : ゼロとその反対を含むすべての数え数字。例: -2、-1、0、3
- 整数 : ゼロおよびすべての正のカウント数。例-0、2、500
- 自然数 : すべての正のカウント数。例-1、2、40
例: -5 は実数のどの部分集合に属しますか?
答え：
-5 は有理数であり整数です。
セットのパワーセット
セットの パワーセット は、元のセットと空のセットだけでなく、すべてのサブセットで構成されます。 P(A) は、指定された集合 A の累乗集合を表します。たとえば、A = {1, 2} の場合、P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }。ここで、A のすべてのサブセットが P(A)、つまり A のパワーセットに含まれていることが明確にわかります。
セットのサブセットの数
任意のセット A について、スーセットの数は次の式を使用して与えられます。
サブセットの数 = 2 n
どこ n セット内の要素の数です。
べき集合には任意の集合のすべての部分集合が含まれるため、「n」個の要素を持つ集合 A の場合、P(A) は 2 になります。n要素。
例: セットに 4 つの要素がある場合、パワー セットの要素はいくつ形成できますか?
答え：
3つの要素からなるべき集合の要素数は2です4= 16。
サブセットの種類
サブセットには次の 2 種類があります。
- 適切なサブセット
- 不適切なサブセット
これらのタイプについては、次のように詳しく説明します。
適切なサブセット
あ 適切なサブセット 元のセットの少数のメンバーのみで構成されます。適切なサブセットが元のセットと等しくなることはありません。適切なサブセットでは、元のセットを形成するサブセットは除外されます。
適切なサブセットシンボル
適切なサブセットは ⊂ で示されます。
集合 A と集合 B の適切なサブセットは次のように表すことができます。
A⊂B
適切なサブセットの例
セット A = {1, 3, 5} とすると、A の適切なサブセットは {}、{1}、{3}、{5}、{1, 3} {3, 5} {1, 5} になります。また、{1, 3, 5} は A のサブセットですが、A の適切なサブセットではありません。
適切なサブセット式
「n」個の要素を含むセットの適切なサブセットの数は 2 ですn- 1.
例: セットには 3 つの要素が含まれています。適切なサブセットの数はいくつになりますか?
答え：
適切なサブセットの数 = 2n- 1
データ構造 Javaここで、n = 3
N = 23– 1 = 7
不適切なサブセット
アン 不適切なサブセット contains には、null セットと初期セットの各メンバーの両方が含まれます。不適切なサブセットは元のセットと同じになる可能性があります。不適切なサブセットには、元のセットを構成するサブセットが含まれます。これを記号で表すと、 ⊆ 。
例: 集合 A = {1, 3, 5} の不適切な部分集合は何でしょうか?
答え：
不適切なサブセット: {}、{1}、{3}、{5}、{1,3}、{1,5}、{3,5}、および {1,3,5}
不適切なサブセット式
「n」個の要素のコレクションの場合、不適切なサブセットの数は常に 1 です。つまり、セットの不適切なサブセットの数は、その要素の数とは無関係です。
もっと詳しく知る、 集合論の公式
適切なサブセットと不適切なサブセット
適切なサブセットと不適切なサブセットの主な違いを次の表に示します。
| 適切なサブセット | 不適切なサブセット |
|---|---|
| セットの要素の一部が含まれています。 | セットのすべての要素が含まれます。 |
| それは決して与えられたセットと等しくなりません。 | これは常に指定されたセットと等しくなります。 |
| 「n」個の要素を含むセットの適切なサブセットの数は 2 ですn- 1. CSSの中央の画像 | 「n」個の要素のコレクションの場合、不適切なサブセットの数は常に 1 です。 |
| ⊂ 記号は適切なサブセットにのみ使用されます。 | ⊆ 記号は不適切なサブセットに使用されます。 |
例: 集合 P = {1,2} の場合、適切なサブセットと不適切なサブセットを見つけます。
解決：
Javaの文字列メソッドへ
適切なセットは、{ }、{1}、および {2} によって与えられます。
不適切なセットが { }、{1}、{2}、および {1,2} によって与えられています
サブセットとスーパーセット
両者の主な違い サブセット そして スーパーセット 次の表にリストされています。
| 側面 | サブセット | スーパーセット |
|---|---|---|
| 意味 | サブセットは、別のセットよりも少ない要素、または同じ要素を含むセットです。 | スーパーセットは、他のセットよりも多くの要素を含むセットです。 |
| 関係 | サブセットの関係は A ⊆ B で表されます。ここで、A は B のサブセットです。 | スーパーセットの関係は A ⊇ B として表されます。ここで、A は B のスーパーセットです。 |
| 例 | {1, 2} は {1, 2, 3} のサブセットです。 | {1, 2, 3} は、{1, 2} のスーパーセットです。 |
| サイズ | サブセットのサイズはスーパーセットのサイズ以下です。 | スーパーセットのサイズはサブセットのサイズ以上です。 |
| インクルージョン | サブセットのすべての要素はスーパーセットの要素でもあります。 | スーパーセットには、サブセットのすべての要素が含まれ、場合によってはそれ以上の要素も含まれます。 |
| 人間関係 | セットには複数のサブセットを含めることができます。 | セットには複数のスーパーセットを含めることができます。 |
| 空集合 | 空集合 (∅) は、すべての集合の部分集合です。 | 空集合 (∅) は、すべての集合のスーパーセットです。 |
サブセット式
サブセットに関連するすべての式を以下に示します。
- n 個の要素を持つ集合の部分集合の数は 2 ですn。これには、適切なサブセットと不適切なサブセットの両方が含まれます。
- n 個の要素を持つ集合の適切な部分集合の数は 2 ですn- 1.
- 任意のセットの不適切なサブセットの数は常に 1 です。
また、読んでください
- セットの表現
- セットの種類
- ユニバーサルセット
サブセットに関する解決済みの問題
問題 1: 4 つの要素からなるセットにはサブセットがいくつありますか?
解決：
4 つの要素を含むセットには 2 つの要素が含まれます4その中の要素 = 16。
問題 2: 5 つの要素からなるセットにはサブセットがいくつありますか?
解決：
5 つの要素を含むセットには 2 つの要素が含まれます5その中の要素 = 32。
サブセットに関するよくある質問
数学における部分集合とは何ですか?
セット A のすべてのコンポーネントがセット B にも存在する場合、セット A はセット B のサブセットであると言われます。別の言い方をすると、セット B にはセット A が含まれています。
適切なサブセットとは何ですか?
A に等しくない集合 A のサブセットは、A の適切なサブセットです。言い換えると、B が A の適切なサブセットである場合、A には B にない要素が少なくとも 1 つありますが、B の要素はすべて B に含まれます。 Aで。
不適切なサブセットとは何ですか?
元のセットのすべてのコンポーネントを含むサブセットは、不適切なサブセットとみなされます。
サブセットはそれ自体と等しいでしょうか?
すべてのセットはそれ自体のサブセットとして考えられます。集合のない適切な部分集合はそれ自体です。すべてのセットには、サブセットとして空のセットがあります。
サブセットをユニバーサル セットにすることはできますか?
セット A のすべての要素がセット B の要素でもある場合、セット A はセット B のサブセットであると言えます。その場合、任意のユニバーサル セットを使用してサブセットを生成できます。すべてのユニバーサル セットは実際にはそれ自体のサブセットであることに留意することも重要です。
サブセットを Null にすることはできますか?
はい、NULL セットはデフォルトでは任意のセットのサブセットです。
サブセットの 2 つの分類は何ですか?
サブセットの分類は次のとおりです。
- 適切なサブセット
- 不適切なサブセット