この記事では、2 つのセット間の対称的な違いについて説明します。ここでは、2 つのセット間の対称差の性質についても説明します。
この記事が 2 つのセットの対称的な違いを理解するのに役立つことを願っています。
対称差とは何ですか?
差分のもう 1 つの変形は、対称差分です。 2 つのセット A と B があるとします。セット A と B の対称的な違いは、共通要素を除く両方のセットに存在する要素を含むセットです。
2 つのセット間の対称差は、次のように呼ばれます。 選言的結合 。 2 つのセット間の対称的な差異とは、両方のセットに含まれるが、それらの共通部分には含まれない要素のセットです。 2 つのセット A と B の間の対称差は次のように表されます。 A D B または ？ B 。
例を通してそれを理解することができます。
例1 いくつかの要素を含む 2 つのセットがあるとします。
セット A = {1、2、3、4、5}
セット B = {3, 5}
したがって、指定されたセット A と B の間の対称差は {1, 2, 4} となります。
あるいは、次のようにも言えます。 A Δ B = {1, 2, 4} 。
例2 いくつかの要素を含む 2 つのセットがあるとします。
A = {a、b、c、k、m、n} と設定します。
セット B = {c, n}
したがって、指定されたセット A と B の間の対称差は {a, b, k, m} となります。
あるいは、次のようにも言えます。 A Δ B = {a, b, k, m} 。
以下のベン図では、2 つのセット間の対称的な違いがわかります。
上のベン図で肌の色で影を付けた部分は、指定されたセット間の対称差です。 A D B 。
2 つのセット間の対称差の特性をいくつか見てみましょう。
プロパティ
対称差のプロパティには、次のようなものがいくつかあります。
- 対称的な差は、両方の相対補数の和集合として表すことができます。つまり、
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - 2 つのセット間の対称的な差は、2 つのセットの和集合からそれらの交差部分を引いたものとして表すこともできます。
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - 対称的な差異は可換的であると同時に結合的でもあります -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - 空のセットは中立です (数学では、中立要素は、セット上の任意の要素と組み合わせて二項演算を実行するときに、要素を変更しない特殊なタイプの要素であると言われます。空集合とも呼ばれます)。 アイデンティティ要素 ）。
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - セット A がセット B に等しい場合、両方のセット間の対称差は -
A Δ B = ∅ {A = B の場合}
「2 つのセット間の対称差」v/s 「2 つのセット間の差」
2つのセットの違い
2 つの集合 A と B の違いは、A に属しているが B には属していないすべての要素の集合であり、次のように表されます。 A～B 。
例： A = {1, 2, 3, 4} とします。
B = {3, 4, 5, 6}
この場合、A - B = {3, 4} および B - A = {5, 6}
2 つのセット間の対称的な差
2 つのセット A と B の対称的な違いは、A または B には含まれるが両方には含まれないすべての要素を含むセットです。それは次のように表されます。 A D B または ？ B 。
例： A = {1, 2, 3, 4} とします。
B = {3, 4, 5, 6}
その場合、A Δ B = {1, 2, 5, 6}
ここで、2 つのセット間の対称的な違いをより明確に理解するために、いくつかの例を見てみましょう。
質問1 - セット A = {10, 15, 17, 19, 20} および B = {15, 16, 18} があるとします。両方のセット A と B の間の差を見つけ、それらの間の対称的な差も見つけます。
解決 - 考えると、
jsの複数行の文字列
A = {10、15、17、19、20}
B = {15, 16, 18}
両方のセットの違いは -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
両方のセット間の対称的な差は -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10、16、17、18、19、20}
質問2 - セット A = {2, 4, 6, 8} および B = {2, 5, 7, 8} があるとします。対称差 B Δ A を見つけます。また、指定された両方のセット間の対称差を表すベン図を描画します。
解決 - A = {2, 4, 6, 8} および B = {2, 5, 7, 8} とすると、
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) であることがわかっています。
質問を段階的に解決してみましょう。したがって、最初のステップは、セット A とセット B の和集合を見つけることです。
したがって、(B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2、4、5、6、7、8}
その後、両方のセット間の交差を計算する必要があります。
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
ここで、式に記載されているように、セット A と B の和集合と積集合の差を見つける必要があります。
したがって、(B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4、5、6、7}
したがって、B Δ A = {4, 5, 6, 7}
上で述べたように、「対称差は可換である」ので、これは A Δ B に等しくなります。ここで、ベン図を介して両方のセット間の対称的な差を示します。
ベン図では、まず、セット A と B を表す 2 つの円を描きます。上で計算したように、両方のセットの交差は {2, 8} であるため、交差領域にこれらの要素をリストしました。次に、残りの要素をそれぞれの集合円にリストします。つまり、集合 A の {4, 6} と集合 B の {5, 7} をリストします。要素を配置すると、ベン図は次のようになります。
上のベン図を見ると、普遍集合 U があります。集合 A と B はどちらも普遍集合 U の部分集合です。要素 {2, 8} は交差する要素であるため、交差領域で表されます。薄いオレンジ色の領域は、交差領域を除いた集合の和集合です。この領域は、セット A と B の両方の対称的な差であり、次のように表されます。
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
質問 3 - セット A = {5, 6, 8, 9, 10} および B = {2, 4, 7, 10, 19} があるとします。
指定された集合を使用して、対称差分が可換であることを証明します。
解決 - A = {5, 6, 8, 9, 10} および B = {2, 7, 8, 9, 10} とすると、
証明する： A Δ B = B Δ A
左側を取ります。
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2、5、6、7、8、9、10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
したがって、A Δ B = {2, 5, 6, 7}
さて、RHSを見てみましょう
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2、5、6、7、8、9、10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
したがって、B Δ A = {2, 5, 6, 7}
したがって、A Δ B = B Δ A
したがって、対称差は可換です。