台形則: 定義、公式、例、および FAQ

台形則は、積分の基本的な定義を定義するために使用される積分の基本規則の 1 つです。これは広く使用されているルールであり、台形ルールは、曲線を長方形ではなく小さな台形に分割することで曲線の下の面積を与えるため、そのように名付けられました。

一般に曲線下の面積を求めるには、面積を小さな長方形に分割し、すべての長方形の和を求めますが、台形則では曲線下の面積を台形に分割し、その和を求めます。台形則は、数値解析で定積分の値を求めるために使用されます。この法則は台形則、台形則とも呼ばれます。この記事では、台形定規、その公式と証明、例などについて詳しく学びましょう。

台形則とは何ですか?

台形則は、次の形の定積分の値を求めるために使用されるルールです。^b∫_あるf(x)dx。定積分の値は次のようになります。^b∫_あるf(x) dx は、x 軸上の区間 a と b において、曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた面積です。この面積は、全面積をいくつかの小さな長方形に分割し、それらの合計を求めることで計算されます。

台形則では、その名前が示すように、曲線の下の領域がいくつかの台形に分割され、それらの合計が求められて曲線の面積が求められます。台形則は、シンプソン則よりも曲線の下の領域の最適な近似を提供しませんが、それでも、その結果は十分に正確であり、このルールは微積分で広く使用されているルールです。

台形則の公式

台形則の公式は、曲線の下の面積を求めるために使用される公式です。次に、台形則を使用して曲線の下の面積を見つけます。

y = f(x) を閉区間 [a, b] 上で定義された連続曲線とする。ここで、閉じた区間 [a, b] を n 個の等しい部分区間に分割します。それぞれの幅は次のとおりです。

Δx = (b – a)/n

そのような、

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

ここで台形則の公式を使用すると、曲線の下の面積を次のように求めることができます。

∫^b_あるf(x) dx = 曲線下の面積 = (Δx/2) [y₀+ 2 (そして₁+と₂+と₃+ ….. + そして_n-1) + y_n]

どこで、y₀、そして₁、そして₂、…。そして_nは、それぞれ x = 1、2、3、…..、n における関数の値です。

台形則公式の導出

曲線下の面積を計算するための台形則の公式は、曲線下の面積をいくつかの台形に分割し、それらの合計を求めることによって導出されます。

声明：

f(x) を区間 (a, b) 上で定義された連続関数とする。ここで、間隔 (a、b) を n 個の等しいサブ間隔に分割します。各間隔の幅は次のようになります。

Δx = (b – a)/n

a = x となるように₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

台形則の公式は次のようになります。

Javaでリストを反復する

∫^b_あるf(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

ここで、×_私= a + i△x

n → ∞ の場合、式の R.H.S は定積分を与えます。 $int_{a}^{b}f(x) dx$

証拠：

この公式は、上図に示すように、与えられた曲線の下の領域をさまざまな台形に分割することによって証明されます。最初の台形の高さは Δx で、平行な底辺の長さは f(x₀) と f(x₁)

最初の台形の面積 = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

同様に、残りの台形の面積は (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)]、(1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃）]、等々。

今なら言えるのは、

∫^b_あるf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x)₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n))

単純化すると、次のようになります。

∫^b_あるf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

これで台形則が証明されました。

台形則を適用するにはどうすればよいですか?

台形則は、曲線の下の面積をさまざまな台形に分割して、すべての台形の合計を求めることで曲線の下の面積を求めます。台形則は二次近似を使用するため、定積分の値の完全な近似ではありません。

定積分の値 ∫ を見つけなければなりません。^b_あるf(x)dx。定積分の値は、次の手順に従って台形則を使用して計算できます。

ステップ1： サブ間隔 n と間隔 a および b の値をマークします。

ステップ2： 式 △x = (b – a)/n を使用して、部分区間 (△x) の幅を求めます。

ステップ 3: すべての値を台形則の公式に入力し、定積分 ∫ を表す指定された曲線の近似面積を求めます。^b_あるf(x)dx

∫ ^b _ある f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x) ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

どこ、バツ _私 = a + i△x

台形則の和表記

台形の面積は基本的に、平行な辺の長さの平均に高さを掛けたものであることがわかっています。したがって、この場合、i の台形を考えます。^番目間隔、

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}デルタ x$

総面積はすべての面積の合計なので、

A = A₁+A₂+ ….+A_n

⇒ あ= $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ あ= $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}デルタ x$

これは、台形和のシグマ表記または総和表記と呼ばれます。

リーマン・サムス

リーマンは、曲線の下の領域をさまざまな長方形の部分に分割するというアイデアに関する研究を要約しています。長方形の数が増えると、その領域は現在の領域にどんどん近づきます。下に示す図には関数 f(x) があります。この関数の下の領域は多くの長方形に分割されます。曲線の下の総面積は、すべての長方形の面積の合計です。

上の図では、長方形の右端が曲線に触れていることに注目してください。これは右リーマン和と呼ばれます。

また、下の図に示すように、長方形の左端が曲線に接する場合、それらは左リーマン和と呼ばれます。

Δx が間隔の幅であるとしましょう。幅 n は上記のように間隔の数です。次に、合計で表される曲線の面積は次のように求められます。

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

中間点の合計

リーマン和では、長方形の左端または右端のいずれかが曲線に触れます。この場合、長方形の中点が曲線に触れます。それ以外はすべてリーマン和と同じです。以下の図は、関数 f(x) と中点和のさまざまな四角形を示しています。

Aとしましょう_私i の面積を示します^番目矩形。この場合、この長方形の面積は次のようになります。

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) デルタ x$

さて、総和表記における総面積は次のように与えられます。

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})デルタ x}$

続きを読む、

積分公式
部品による統合
微分・積分の公式

台形則の解決例

例 1: x = 0 ～ x = 4 の関数 f(x) で囲まれる領域を 4 つの間隔で求めます。

f(x) = 4

解決：

ここで、a = 0、b = 4、n = 4 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{4 - 0}{4} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

例 2: x = 0 ～ x = 3 の関数 f(x) で囲まれる領域を 3 つの間隔で求めます。

f(x) = x

解決：

ここで、a = 0、b = 3、n = 3 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{3 - 0}{3} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 3 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) 右矢印 T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

例 3: x = 0 ～ x = 2 の間で関数 f(x) で囲まれる領域を 2 つの間隔で求めます。

f(x) = 2x

解決：

ここで、a = 0、b = 2、n = 2 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{2 - 0}{2} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 2 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

例 4: x = 0 ～ x = 3 の関数 f(x) で囲まれる領域を 3 つの間隔で求めます。

f(x) = x ²

解決：

ここで、a = 0、b = 3、n = 3 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{3 - 0}{3} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 3 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

例 5: x = 0 ～ x = 4 の関数 f(x) で囲まれる領域を 4 つの間隔で求めます。

f(x) = x ³ +1

解決：

ここで、a = 0、b = 4、n = 4 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{4 - 0}{4} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72$

例 6: x = 0 ～ x = 4 の関数 f(x) で囲まれる領域を 4 つの間隔で求めます。

f(x) = e ^バツ

解決：

ここで、a = 0、b = 4、n = 4 です。

$デルタ x= frac{b - a}{n} = デルタ x = frac{4 - 0}{4} = デルタ x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

n = 4 の台形則は次のとおりです。

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

この式に値を代入すると、

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

台形則の応用

数値積分:

台形則の主な用途は、定積分の近似です。これは、関数の統合が難しく、数値的アプローチの方が実現可能である場合に使用されます。台形則は、多くの場合、より高度な数値積分手法の一部です。

物理学と工学:

物理学や工学では、台形則を適用して、変位、速度、加速度などの量を計算できます。たとえば、実験データが離散的な時間間隔で収集される場合、台形則を使用して曲線の下の面積を推定し、積分の近似値を得ることができます。

経済と金融:

台形則は財務モデリングに適用して、将来のキャッシュフローの現在価値を推定できます。これは、投資の正味現在価値を計算することが目的である割引キャッシュフロー (DCF) 分析で特に役立ちます。

統計：

統計では、台形則を使用して、確率密度関数または累積分布関数の面積を推定できます。これは、分布の正確な形式が不明または複雑な場合に特に役立ちます。

台形則に関するよくある質問

Q1: 台形則とは何ですか?

答え：

台形則とは、定積分を求めるために使用されるルールで、曲線の下の領域をいくつかの台形に分割し、それぞれの面積を求め、その合計を計算して定積分の値を求めます。

Q2: 台形則公式とは何ですか?

答え：

台形則の公式は、
Javaの文字から整数へ

∫ ^b _ある f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Q3: なぜ台形則公式と呼ばれるのでしょうか?

答え：

台形則式は、曲線の下の領域をいくつかの台形に分割し、それらの台形の和を求めることでその面積を計算するため、台形則と呼ばれます。

Q4: 台形則とリーマン・サムス則の違いは何ですか?

答え：

台形則とリーマンサムス則の主な違いは、台形則では曲線の下の面積を台形として分割し、その合計を求めて面積を求めるのに対し、リーマンサムスでは曲線の下の面積を台形として分割し、次に、それらの合計を計算して面積を求めます。