部品ごとの統合: 部分による積分は、2 つの関数の積の積分を求める微積分で使用される手法です。これは本質的に、差別化のための製品ルールの逆転です。

関数の統合は必ずしも簡単ではありません。場合によっては、2 つ以上の関数の倍数である関数を統合する必要があります。この場合、統合を見つける必要がある場合は、2 つの関数と 2 つの関数の 2 つの積を使用する部分概念による統合を使用する必要があります。それらの統合を見つける方法を教えてください。

さあ、について学びましょう 部分ごとの積分とその計算式、導出などはこの記事で詳しく説明します。

部品による統合とは何ですか?

部分による積分は、通常の手法では積分を実行できない場合に、2 つ以上の関数の積の積分を求めるために使用される手法です。 2 つの関数 f(x) と g(x) があり、それらの積の積分、つまり ∫ f(x).g(x) dx を見つける必要があるとします。この積の積をこれ以上解くことはできません。 f(x).g(x)。

この統合は次の式を使用して実現されます。

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

ここで、f'(x) は f(x) の 1 階微分です。

この式は次のように解釈されます。

最初の関数の積分と 2 番目の関数の積は、(1 番目の関数) と (2 番目の関数の積分) の積 – (1 番目の関数の微分と 2 番目の関数の積分) の積分に等しくなります。

上記の式から、この式を成功させるには最初の関数と 2 番目の関数の選択が非常に重要であることが簡単にわかります。最初の関数と 2 番目の関数を選択する方法については、この記事で詳しく説明します。

部分統合とは何ですか?

部分積分は、部分による積分とも呼ばれ、2 つの関数の積の積分を評価するために微積分で使用される手法です。部分積分の公式は次のように与えられます。

∫ u dv = uv – ∫ v du

ここで、u と v は x の微分可能な関数です。この公式を使用すると、積の積分を 2 つの単純な積分に分解して簡略化できます。アイデアは、右側の新しい積分が左側の元の積分よりも評価しやすいように u と dv を選択することです。この手法は、単純な逆導関数を持たない関数の積を扱う場合に特に役立ちます。

部分統合の歴史

部分による積分の概念は、有名なブルック テイラーによって 1715 年の著書で初めて提案されました。彼は、微分公式が存在する 2 つの関数の積の積分を見つけることができると書きました。一部の重要な関数には積分の公式がなく、それらの積分は 2 つの関数の積として部分的に取得する積分を使用して実現されます。たとえば、∫ln x dx は、通常の積分手法を使用して計算することはできません。しかし、部分積分手法を使用し、それを 2 つの関数の積、つまり ∫1.ln x dx として取得することで積分できます。

部品による統合式

部分積分の公式は、2 つ以上の関数の積の積分を達成するのに役立つ公式です。 2 つの関数の積を次のように統合する必要があるとします。

∫u.v dx

ここで、u と v は x の関数であり、これは次のようにして実現できます。

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

最初の関数と 2 番目の関数を選択する順序は非常に重要であり、最初の関数と 2 番目の関数を見つけるためにほとんどの場合に使用される概念は ILATE 概念です。

上記の公式と ILATE の概念を使用すると、2 つの関数の積の積分を簡単に求めることができます。部品ごとの積分式を以下の図に示します。

部分積分公式の導出

部品による積分式は、微分の積則を使用して導出されます。 2 つの関数があるとします。 で そして で そして x の場合、その積の導関数は次の式を使用して得られます。

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

ここで微分の積則を使って部分積分の公式を導き出します。

用語を並べ替えると

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

x に関して両辺を積分すると、

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

単純化して、

∫ u dv = uv – ∫ v du

このようにして、部分積分式が導出される。

ILATE ルール

ILATE ルールは、2 つの関数の積の積分を解く際に、最初の関数と 2 番目の関数を選択する方法を示します。 x u と v の 2 つの関数があり、それらの積の積分を見つける必要があるとします。その場合、最初の関数と ILATE ルールを選択します。

ILATE の完全な形式については、以下の図で説明します。

部分統合の ILATE ルール

ILATE ルールは、最初の関数を取得する階層を示します。つまり、関数の指定された積において、1 つの関数が対数関数であり、もう 1 つの関数が三角関数であるかどうかを示します。ここで、対数関数が同様に ILATE ルールの階層の上にあるため、最初の関数として取り上げ、それに応じて 1 番目と 2 番目の関数を選択します。

注記： ILATE ルールの使用が常に適切であるとは限りません。場合によっては、最初の関数と 2 番目の関数を見つけるために他のルールも使用されることがあります。

部品ごとに統合を見つけるには?

部分による積分は、2 つの関数の積の積分を求めるために使用されます。これは、以下で説明する手順を使用して実現できます。

∫uv dx を単純化する必要があるとします。

ステップ1： ILATE ルールに従って 1 番目と 2 番目の関数を選択します。 u を最初の関数とし、v を 2 番目の関数とします。

ステップ2： u(x) を x に関して微分します。つまり、 du/dxを評価します。

ステップ 3: v(x) を x に関して積分すると、 ∫v dx を評価します。

ステップ 1 とステップ 2 で得られた結果を式に使用します。

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

ステップ 4: 必要な積分を得るために上の式を簡略化します。

部品ごとに統合を繰り返す

部分による繰り返し積分は、微積分における部分による積分手法の拡張です。逆導関数を見つけるために複数回の積分が必要な関数の積がある場合に使用されます。このプロセスでは、結果として得られる積分が評価しやすい、または既知の形式になるまで、部分公式による積分を繰り返し適用します。

この公式を繰り返し適用する場合は、2 つの関数の積を含む積分から始めて、次に部分積分を適用して、より単純な積分に分割します。次に、それ以上のアプリケーションが不要になるか、積分が管理可能になる点に到達するまで、結果の積分に対してこのプロセスを続けます。

以下は、部品ごとに繰り返される統合がどのように機能するかを段階的に示した例です。

1. 2 つの関数の積の積分から始めます: ∫ u dv。
2. 部分による積分の公式を適用すると、uv – ∫ v du が得られます。
3. 右辺で得られた新しい積分がまだ関数の積を含んでいる場合は、再度部分積分を適用してさらに分解します。
4. 簡単に評価できる単純な積分、または既知の積分形式と一致する積分が得られるまで、このプロセスを続けます。

部品ごとの表形式の統合

表形式積分は、表形式法または表形式積分法とも呼ばれ、部分ごとに積分を繰り返し適用する積分を評価するための代替手法です。この方法は、関数の積を複数回積分して単純な結果を得ることができる積分を扱う場合に特に便利です。

表形式の手法では、部品プロセスごとに繰り返される積分を表にまとめて、項を追跡し、積分を効率的に単純化することが容易になります。表形式の方法がどのように機能するかは次のとおりです。

1. まず、積分に含まれる関数を 2 つの列に書き留めます。1 つは微分する関数 (u) で、もう 1 つは積分する関数 (dv) です。
   • 左の列の積分関数 (dv) と右の列の微分関数 (u) から始めます。
2. ゼロまたは定数に達するまで、u 列の関数の微分を続けます。各ステップで、さらに統合する必要がなくなる点に達するまで、dv 列の関数を統合します。
3. 項を対角に乗算し、各項の符号 (+ と -) を交互に置きます。これらの製品を合計して、統合の結果を求めます。

以下に例を示します。 表形式の統合手法 :

積分 ∫x sin(x) dx を評価してみましょう。

• ステップ1： u (微分する関数) と dv (積分する関数) の 2 つの列を持つテーブルを作成します。

• ステップ2： u 列の関数を微分し、dv 列の関数を積分します。

• ステップ 3: 項を対角に乗算し、符号を交互に置きます。

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

したがって、積分 ∫x の結果は sin(x) dx は -x です cos(x) + sin(x)。

表形式の積分法は、微分または積分の際に繰り返される関数を含む積分を扱う場合に特に便利で、逆導関数を見つけるための体系的かつ組織的なアプローチが可能になります。

部品による一体化の応用例

部分による積分には、通常の積分手法が失敗する関数の積分を見つけるために使用される積分計算のさまざまな用途があります。部分積分の概念を使用すると、逆関数と対数関数の積分を簡単に見つけることができます。

部分則による積分を使用して、対数関数と Arctan 関数の積分を求めます。

対数関数の積分（log x）

逆対数関数 (log x) の積分は、部分式による積分を使用して実行されます。統合については以下で説明します。

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

log x を最初の関数とし、1 を 2 番目の関数とします。

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx を使用します。

⇒ ∫ logx.1.dx = logx。 ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

これは対数関数の必要な積分です。

逆三角関数の積分 (tan^-1バツ）

逆三角関数の積分 (tan^-1x) は、部品による積分公式を使用して達成されます。統合については以下で説明します。

∫そうだね^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

日焼けをする^-1最初の関数として x を、2 番目の関数として 1 を指定します。

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx を使用します。

⇒∫たん^-1x.1.dx = 黄褐色^-1x.∫1.dx – ∫((タン^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒∫たん^-1x.1.dx = 黄褐色^-1バツ。 x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒∫たん^-1x.1.dx = x。それで^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒∫たん^-1x.dx = x。それで^-1x – 1/2.log(1 + x2) + C

これは、逆三角関数の必要な積分です。

部分統合の実際の応用

部分積分の一般的な実際の応用例は次のとおりです。

• 反誘導体を見つける
  • 工学や物理学では、物理量を表す関数の逆導関数を見つけるために部分積分が使用されます。たとえば、力学では、力と加速度の方程式から運動方程式を導き出すために使用されます。
• ウォリス製品
  • 円周率の無限積表現であるウォリス積は、部分積分手法を使用して導出できます。この製品は、数論、確率論、信号処理などの分野で応用されています。
• ガンマ関数の恒等式
  • 階乗関数を複素数に拡張するガンマ関数は、数学、物理学、工学でさまざまな用途に使用できます。部分積分は、確率論、統計力学、量子力学などの分野で重要なガンマ関数に関係する恒等性を証明するために使用されます。
• 高調波解析での使用
  • 部分積分は、高調波解析、特にフーリエ解析において重要な役割を果たします。畳み込み定理やフーリエ級数の特性など、フーリエ変換の特性を導出するために使用されます。これらの成果は、信号処理、画像解析、通信などの分野に応用されています。

部品式による統合

部品による統合の概念を使用して、さまざまな機能の統合を導き出すことができます。この手法を使用して導出される重要な式のいくつかは次のとおりです。

• ∫と^バツ(f(x) + f'(x)).dx = e^バツf(x) + C
• ∫√(x²+a²).dx = 1/2 。 x.√(x²+a²)+a²/2. log|x + √(x²+a²)| +C
• ∫√(x²–²).dx =1/2 。 x.√(x²–²) –²/2. log|x +√(x²–²) | C
• ∫√(a²- バツ²).dx = 1/2 。 x.√(a²- バツ²) + a²/2.それなし^-1x/a + C

部品による統合の例

例 1: ∫ e を求める ^バツ ×DX。

解決：

I = ∫ e とします^バツエックスDX

ILATE ルールを使用した u と v の選択

u = x
v = e^バツ

あなたを差別化する

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^バツdx = e^バツ

部品ごとの積分公式を使用すると、

⇒ I = ∫ e^バツエックスDX

⇒ I = x ∫e^バツdx − ∫1 (∫ e^バツDX) DX

⇒ I = xe^バツ−そして^バツ+C

⇒ I = e^バツ(x − 1) + C

例 2: ∫ x sin x dx を計算します。

解決：

I = ∫ x sin x dx とします。

ILATE ルールを使用した u と v の選択

u = x
v = 罪 x

あなたを差別化する

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

部品ごとの積分公式を使用すると、

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

例 3: ∫ sin を求める ⁻¹ ×DX。

解決：

I= ∫ sin とします⁻¹エックスDX

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹エックスDX

ILATE ルールを使用した u と v の選択

あなた = 罪⁻¹バツ
v = 1

あなたを差別化する

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

部品ごとの積分公式を使用すると、

⇒ I = ∫ 罪⁻¹エックスDX

⇒ 私＝なし⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x 罪⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²))dx

t = 1 − x としましょう²

両側を区別する

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ 罪⁻¹x dx = x 罪⁻¹x − ∫ −(1/2√t ) dt

⇒ I = x 罪⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x 罪⁻¹x + t^1/2+C

⇒ I = x 罪⁻¹x + √(1 − x²)+C

Pythonのeol

部品別統合に関する練習問題

1. xeを統合する ^バツ

2. x sin(x) を積分する

3. xを積分する ² ln(x)

4. 統合する ^バツ cos(x)

5. ln(x) を積分する

部品ごとの統合に関するよくある質問

部品単位の統合とは何ですか?

部分による統合は、通常の統合手法では失敗する 2 つの関数の積の統合を求める手法です。部分式による積分は、

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

部品積分式とは何ですか?

2 つの関数 f(x) と g(x) の部分積分式は次のようになります。

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

どこ f'(x) は f(x) の微分です。

部品公式から積分を求めるにはどうすればよいですか?

部分式による積分は、微分の積則を使用して導出されます。

なぜ部分積分式を使用するのでしょうか?

部分式による積分は、通常の微分手法が失敗した場合に関数の積分を求めるために使用されます。逆三角関数と対数関数の積分は、部分積分公式を使用して求めることができます。

部品による統合の応用は何ですか?

部分積分にはさまざまな用途がありますが、その基本的な用途は、関数がそれ以上単純化できない関数の積として与えられる場合に、その関数の積分を求めるために使用されます。たとえば、∫ f(x).g(x) dx は部分積分を使用して実現されます。