三角関数代入とは、積分における関数や式をsin、cos、tanなどの三角関数に置き換える積分の代入法の1つです。代入積分は最も簡単な代入法です。
これは、指定された積分関数に既に導関数が含まれている関数を置換するときに使用されます。これにより、関数が簡略化され、簡単に積分できる単純な積分関数が得られます。これは、u 置換またはリバース チェーン ルールとも呼ばれます。言い換えれば、この方法を使用すると、積分と反微分を簡単に評価できます。
三角関数の置換
三角関数置換とは何ですか?
三角関数の置換は、三角関数を別の式に置換するプロセスです。積分を評価するために使用され、または二次式の平方根または次の形式の有理べき乗を含む関数の逆導関数を見つけるための方法です。
三角関数置換の方法は、他のより一般的で使いやすい積分方法が失敗したときに呼び出される場合があります。三角関数の代入は、標準的な三角関数の恒等式、微分表記の使用、u 置換を使用した積分、および三角関数の積分に精通していることを前提としています。
x = f(θ)
⇒ dx = f'(θ)dθ
ここでは、積分する必要がある関数に応じていくつかの重要な公式について説明します。積分を簡略化するために、次の三角関数の式のいずれかを置き換えます。
∫cosx dx = sinx + C
Androidで開発者モードを無効にする方法∫sinx dx = −cosx + C
∫秒2x dx = タンクス + C
∫cosec2x dx = −cotx + C
∫secxtanxdx = secx + C
∫cosecx cotx dx = −cosecx + C
∫tanx dx = ln|secx| +C
∫cotx dx = ln|sinx| +C
∫secx dx = ln|secx + Tanx| +C
∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| +C
詳細を読む: 数学における微積分
三角関数の置換をいつ使用するか?
次の場合に三角関数置換を使用します。
表現 | 代用 |
|---|---|
ある2+×2 | x = atanθ |
ある2- バツ2 | x = サインθ |
バツ2–2 | x = 秒 θ |
| x = a cos 2θ |
| x = α cos 2 θ+βsin 2 私 |
三角関数置換法を適用するにはどうすればよいですか?
以下で説明するように、三角関数置換法を適用できます。
一体型2- バツ2
を含む積分の例を考えてみましょう。2- バツ2。
例：
int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx x = a sinθ としましょう
⇒ dx = a cosθ dθ
したがって、私 =
int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}} ⇒ 私 =
int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}} ⇒ 私 =
int 1. d heta ⇒ I = θ + c
として、x = a sinθ
⇒ θ =
sin^{-1}(frac{x}{a}) ⇒ 私 =
sin^{-1}(frac{x}{a}) + c
x と整数 2 +a 2
x を含む積分の例を考えてみましょう。2+a2。
例: 積分を求める
解決：
x = atanθ と置きましょう
⇒ dx = a sec2θ dθ となります。
したがって、私 =
int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta) ⇒ 私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)} ⇒ 私 =
frac{1}{a}int 1.d heta ⇒ 私 =
frac{1}{a} heta +cとして、x = atanθ
デスクトップiniとは何ですか⇒ θ =
tan^{-1}(frac{x}{a}) ⇒ 私 =
frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) +c
一体型 2 +× 2 。
を含む積分の例を考えてみましょう。2+×2。
例: の積分を求めます。
解決：
x = atanθ としましょう
⇒ dx = 秒2θdθ
したがって、私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}} ⇒ 私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}} ⇒ 私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta} ⇒ 私 =
int sechspace{0.1cm} heta d heta ⇒ 私 =
log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c ⇒ 私 =
log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c ⇒ 私 =
log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c ⇒ 私 =
log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1
x と整数 2 – 2 。
x を含む積分の例を考えてみましょう。2–2。
例: の積分を求めます。
x = a 秒θとしましょう
⇒ dx = a secθ Tanθ dθ
したがって、私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}} ⇒ 私 =
int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)} ⇒ 私 =
int sec hetahspace{0.1cm}d heta ⇒ 私 =
log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c ⇒ 私 =
log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c ⇒ 私 =
log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c ⇒ 私 =
log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c ⇒ 私 =
log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1
続きを読む、
三角関数の代入に関するサンプル問題
問題 1: の積分を求めます。
解決：
分母に共通の5を取ると、
⇒ 私 =
frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx ⇒ 私 =
frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx 定理 1 によれば、a =
frac{3}{5} ⇒ 私 =
frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) +cJavaを使ったMVC⇒ 私 =
frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) +c
問題 2: の積分を求めます。
解決：
分母に共通の√2をとると、
⇒ 私 =
frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx ⇒ 私 =
frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx 定理 1 によると、a = 2
⇒ 私 =
frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c⇒ 私 =
frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c
問題 3: の積分を求めます。
解決：
並べ替えると、次のようになります
int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx ここで、a = 3 および x = 3 sinθ とすると、
⇒ dx = 3 cos θ dθ
これらの値を代入すると、
私 =
int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta ⇒ 私 =
int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta ⇒ 私 =
int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta ⇒ I = 243
inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta ⇒ I = 243
inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta さあ、
u = cosθ
⇒ du = -sinθ dθ
これらの値を代入すると、次のようになります。
⇒ I = 243
inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du) ⇒ I = -243
inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du ⇒ I = -243
inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du ⇒ I = -243
[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}] u = cos θ、x = 3 sinθ となります。
⇒ cosθ =
sqrt{1-sin^2 heta} ⇒ で =
sqrt{1-(frac{x}{3})^2} ⇒ で =
(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}} したがって、I = -243
[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}] ⇒ I = -243
[frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] +c
問題 4: の積分を求めます。
解決：
9を分母にすると、
私 =
frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx ⇒ 私 =
frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx Javaリストから配列へ定理 2 によると、a =
frac{2}{3} ⇒ 私 =
frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})} ⇒ 私 =
frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c
問題 5: の積分を求めます。
解決：
分母に共通の4を取ると、
私 =
frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}} ⇒ 私 =
frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}} 定理 3 によると、a =
frac{5}{4} ⇒ 私 =
frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c ⇒ 私 =
frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c ⇒ 私 =
frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c Java配列の文字列⇒ 私 =
frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1
問題 6: の積分を求めます。
解決：
分母に2の共通を取ると、
私 =
frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx 私 =
frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx 定理 4 によると、a =
frac{3}{2} 私 =
frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c 私 =
frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c 私 =
frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c 私 =
frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c 私 =
frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1
問題 7: の積分を求めます。
解決：
並べ替えると、次のようになります
私 =
int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx 私 =
int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx 私 =
int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx 私 =
int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx 定理 2 によれば、次のようになります。
x = x-
frac{1}{2} そして、=frac{sqrt{3}}{2} 私 =
frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}} 私 =
frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c
三角関数の置換 – FAQ
三角関数置換とは何ですか?
三角関数置換は、√(x などの根号と平方根を含む式を含む積分を解くために使用される積分手法です。2+a2)、√(a2+×2)、および√(x2–2）。
三角関数置換はどのような場合に使用する必要がありますか?
三角関数の置換は、根数式を含む積分がある場合、特に根数式に二次項が含まれる場合に便利です。
積分で一般的に使用される 3 つの三角関数の置換は何ですか?
一般的に使用される 3 つの三角関数置換は次のとおりです。
- 根号式に a という形式の項が含まれる場合は、x = a sin θ を代入します。2- バツ2。
- 根号式に x の形式の項が含まれる場合は、x = atan θ を代入します。2–2。
- 根号式に x の形式の項が含まれる場合は、x = a sec θ を代入します。2+a2。
使用する三角関数の置換をどのように選択するのでしょうか?
根号式の形式に基づいて三角関数の置換を選択する必要があります。根号式に a^2 – x^2 の形式の項が含まれる場合は、x = a sin θ を使用します。根号式に x^2 – a^2 の形式の項が含まれる場合は、x = atan θ を使用します。根号式に x^2 + a^2 の形式の項が含まれる場合は、x = a sec θ を使用します。