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コーンのかけら

円錐台は、円錐を底面に平行な面で切断したときに形成される特殊な形状です。円錐は、円形の底面と頂点を有する三次元形状です。したがって、円錐台は、円形の底面に平行な平面で円錐の一部を除去することによって形成される固体の体積です。錐台は円錐に対して定義されるだけでなく、さまざまな種類の角錐 (四角錐、三角錐など) に対しても定義できます。

私たちが日常生活で目にする円錐台の一般的な形状には、バケツやランプシェードなどがあります。この記事では円錐台について詳しく学びましょう。

円錐台とは何ですか?

フラスタムとはラテン語で断片を意味するため、円錐台は円錐の固体の部分です。とき 直円錐 円錐の底面に平行な平面で切断すると、そのようにして得られた形状を円錐台と呼びます。以下の図は、平面がどのように円錐をその底面に平行に切断して円錐台を形成するかを示しています。



コーンのかけら

さて、円錐台は次のように簡単に定義できます。

直円錐を底面に平行な面で切断したとき、切断面と底面との間の部分の形状を円錐台といいます。

コーンの部分のネット

3 次元 (3D) 形状を切り開いて 2 次元形状にすると、そのようにして得られた形状はネットと呼ばれます。図形のネットを正しい方法で適切に折りたたむと、目的の 3D 形状が形成されると考えることができます。以下の画像は、円錐台のネットを示しています。

コーンの部分のネット

円錐片の性質

円錐台のプロパティは円錐と非常によく似ています。円錐台の重要なプロパティのいくつかは次のとおりです。

  • 円錐の底面では、元の円錐は円錐台に含まれていますが、その頂点は円錐台に含まれていません。
  • 円錐台の公式は、その高さと 2 つの半径 (上底と下底に対応) に依存します。
  • 円錐台の高さは、その 2 つの底面の中心間の垂直距離です。

円錐片の公式

円錐台は、テーブルランプやバケツなど、私たちの日常生活で頻繁に見られる形状です。円錐台の重要な公式は次のとおりです。

  • 円錐片の体積
  • 円錐台の表面積

以下でこれらの式について詳しく学びましょう。

円錐片の体積

円錐台とは、円錐をスライスした部分で、大きな円錐から小さな円錐が取り除かれたものです。したがって、円錐台の体積を計算するには、大きい円錐台と小さい円錐台の体積の差を計算するだけで済みます。

円錐台の体積

仮定してみますと、

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  • 円錐の全高は H + h になります。
  • 合計の傾斜高さは l’ + L となります
  • 完全な円錐の半径は r です
  • スライスされた円錐の半径はr’です

円錐の体積は V = 1/3πr で与えられるので、2h

完全な円錐の体積 V1= 1/3πr2(H+h)

小さい方の円錐の体積 V2=1/3πr’2(h)

これで、円錐台 (V) の体積は、次の式を使用して計算できます。

V=V1- で2

V = 1/3πr2(H+h) – 1/3πr’2(h)

V= 1/3π[r2(H+h) – r’2(h)]…(1)

△OCDと△OABの三角形の相似の性質を利用すると、次のように書くことができます。

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = hr / r’

この (H+h) の値を式 (1) に代入して簡略化すると、次のようになります。

V = 1/3π[r2(rh / r’) – r’2(h)}

= 1/3π[{hr3– 時’3} / r’]…(2)

△OCDと△OABでも相似三角形の性質を利用して、hの値を求めます。

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

これらの値を式 (2) に代入すると、

V = 1/3π[{r3時 – 時3h} / r’]

= 1/3π[{r3–r’3}h/r']

= 1/3π[{r3–r’3｛Hr​​’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r2+r'2+rr')

したがって、

円錐台の体積 = 1/3 πH(r 2 +r' 2 + rr')

円錐台の表面積

円錐台の表面積は、 完全な円錐の表面積 そして小さい方の円錐（完全な円錐から除去されたもの）。円錐台の表面積は、以下の図を使用して計算できます。ここでは、曲面の表面積と、円錐台の上面と底面の表面積を合計する必要があります。

円錐台の表面積

円錐台の体積と同様に、曲面領域も大きい円錐台と小さい円錐台の表面積の差に等しくなります。

上に示した図では、三角形 OAB と OCD は相似です。したがって、類似性基準を使用すると、次のように書くことができます。

l’ / l = r’ / r…(1)

l’ = l – L であるため、式 (1) より、

(l – L) / l = r’ / r

相互乗算の後、

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

完全な円錐の曲面面積 = πrl

小さい方の円錐の曲面面積 = πr’l’

完全な円錐と小さな円錐の曲面面積の差 = π (rl – r’l’)

したがって、円錐台の曲面面積 (CSA) = πl (r – r’l’/l)

式 (1) を使用して、上記の式の l’/l の値を代入し、簡略化すると、

円錐台の CSA = πl (r – r’×r’/r) = πl (r2–r’2)/r

ここで、式 (2) の l の値を代入して簡略化すると、次のようになります。

DF ロック

円錐台の CSA = πlr/(r – r’)× (r2–r’2)/r = πl (r + r')

したがって、次のように書くことができます。

円錐台の曲面面積 = πl (r + r’)

ここで、次のように円錐台の上部と底部の表面積を計算してみましょう。

半径 r’ = πr’ の円錐台の上底の表面積2

半径 r = πr の円錐台の底底の表面積2

それで、

円錐台の総表面積 = 円錐台の曲面面積 + 上底の表面積 + 下底の表面積

したがって、

円錐台の総表面積 = πl (r + r') + πr'2+πr2= πl (r + r') + π (r2+r’2)

したがって、円錐台の総表面積は = πl (r + r’) + π (r2+r'2)

この式は次のように書くこともできます。

円錐台の総表面積は = πl (r2–r’2)/r + π (r2+r'2)

したがって、次のように書くことができます。

円錐台の表面積の合計 = πl(r + r’) + π (r 2 +r’ 2 )

または

円錐台の総表面積 = πl (r 2 –r’ 2 )/r + π (r 2 +r’ 2 )

l は小さい方の円錐の傾斜高さであり、次のように与えられることに注意してください。

L = √ [H 2 + (r – r’) 2 】

続きを読む

円錐の破片に関する解決例

例 1: 高さ 15 cm、両方の底面の半径が 5 cm と 8 cm の円錐台の体積を求めます。

解決：

上で検討した式を使用すると、次のように書くことができます。

V = 1/3 πH(r2+r’2+ rr')

考えると、

高さ = 15 cm
r’=5cm
r = 8cm

V = 1/3 π15(82+52+40)

V = 5π(129)

V = 645π cm3

例 2: 高さ 10 cm、両方の底面の半径が 4 cm と 8 cm の円錐台の表面積と総表面積を求めます。

解決：

私たちは錐台の表面積と総表面積の公式を知っています。必要な値を入力する必要があります。

錐台の曲面面積 = πl(r+r’)

どこ、
L = √ [H2+ (R – r)2】

考えると、
高さ = 10 cm
r = 4cm
R=8cm

Lの値を計算すると、

L = √ [102+ (8 – 4)2】

= √(100+16) = √(116)

錐台の曲面面積 = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

Cプログラミングにおける文字列の配列

= 48π√(29)

総表面積 = 錐台の曲面面積 + 両方の底面の面積

= 48π√(29) + π(8)2+p(4)2

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm2

例 3: 高さ 50cm、底面の半径が 10cm と 20cm の開いた金属バケツがあるとします。の面積を求めます バケツを作るために使用される金属シート。

解決：

バケットは底から閉じた円錐台の形をしています。この錐台の総表面積を計算する必要があります。

与えられた
高さ = 50 cm
r'=10cm
r = 20cm

錐台の曲面面積 = πL(R+r)

L = √ [H2+ (r – r’)2】

L = √ [502+ (20 – 10)2】

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

錐台の曲面面積 = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

総表面積 = 錐台の曲面面積 + 両方の底面の面積

= 300π√(26) + π(20)2+ π(10)2

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm2

例 4: 錐台の高さが 6y、半径がそれぞれ y と 2y の場合の体積の式を求めます。

解決：

上で検討した式を使用すると、

V = 1/3 πH(r2+r'2+ rr')

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考えると、

H = 6y
r'=y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)2+ (そして)2+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y2)

V = 14πy3ユニット3

ピース オブ コーンに関するよくある質問

質問 1: 円錐台とは何ですか?

答え：

切断面が円錐の底面と平行になるように円錐を切断するとき。こうして得られた結果の図形は、円錐台と呼ばれます。

質問 2: 円錐台の公式とは何ですか?

答え：

円錐台の公式については以下で説明します。底面半径「R」、上部半径「r」、高さ「H」、および傾斜高さの錐台を考えてみましょう。

  • 円錐片の体積 (V) = 1/3πH(r2+ rr' + r'2)
  • 円錐台の総表面積 = πl (r + r’) + π (r’2+r2）。

質問 3: 錐台の CSA は何ですか?

答え：

円錐台の曲面面積は、次の式を使用して計算されます。

CSA = πl (r + r')

どこ、
r’ 錐台の上円の半径です
r 半径の基準です
私 傾斜の高さです

質問 4: 円錐台の表面積はどれくらいですか?

答え：

円錐台の表面積は、次の式を使用して計算されます。

  • 円錐片の CSA = πl [ (r2–r’2)/r’]
  • 円錐台の TSA = π (r2+r’2) + πl [ (r2–r’2)/r’]

質問 5: 円錐台の体積はどれくらいですか?

答え：

円錐台の体積は、次の式を使用して計算されます。

  • V = 1/3πh[ (r3–r’3)/r’]
  • V = 1/3πH(r2+ rr' + r'2)