新しく再設計された 2016 年の SAT では、数学セクションの内容はカレッジボードによって 4 つのカテゴリに分類されています: 代数の核心、問題解決とデータ分析、上級数学へのパスポート、および数学の追加トピック。 Heart of Algebra は SAT 数学セクションの大部分を占めます (テストの 33%) , そのため、十分な準備が必要です。この投稿では、このカテゴリの内容と質問の種類について説明し、練習問題に取り組み、これらの質問に合格する方法のヒントを提供します。

代数の中心: 概要

対象となるコンテンツ

名前が示すように、Heart of Algebra は代数の内容をカバーしていますが、具体的にはどのような代数の内容でしょうか?これらの質問には次の内容が含まれます。

• 一次方程式
• 方程式系
• 絶対値
• 一次方程式のグラフ化
• 線形不等式と不等式系

以下では、これらのコンテンツ領域をそれぞれ詳しく説明します。各分野で知っておくべきことを正確に説明し、いくつかの練習問題を説明します。

注記： この記事の練習問題はすべて、 実際の College Board SAT 模擬試験 (練習テスト #1)。

模擬テスト #1 を受験するまでは、この記事を読まないことをお勧めします。 （だからネタバレはしません！）。模擬テスト #1 をまだ受けていない場合は、この記事をブックマークして、完了後に戻ってください。すでに模擬テスト #1 を受験済みの場合は、読み続けてください。

代数の核心に関する質問の内訳

記事の冒頭で述べたように、Heart of Algebra は数学セクションの 33% を占めています。 19の質問。 セクション 3 (非電卓数学テスト) には 8 名、セクション 4 (電卓数学テスト) には 11 名が参加します。

代数の核心の問題は、表現方法によって異なります。 非常に多くの質問があるため、大学理事会はこれらの質問の仕方を混同する必要がありました。わかるでしょ 多肢選択式とグリッドイン式の Heart of Algebra の質問。 あなたは単に 方程式が提示され、解く必要がある あるいはあなたはそうかもしれません 現実世界のシナリオが文章題として与えられ、答えを見つけるために方程式を作成する必要があります。

SAT の数学セクションでは、問題が難易度順に提示されます (平均的な生徒が問題を解くのにかかる時間と、問題に正しく答える生徒の割合によって定義されます)。 このセクション全体で代数の中心に関する質問が表示されます : 単純で「簡単な」問題は、多肢選択とグリッドインの最初に表示されますが、解くために方程式を作成する必要があるより難しい問題は、最後のほうに表示されます。

次のセクションで各コンテンツ領域について学びながら、各タイプの質問 (簡単な質問と難しい質問) の例を示します。

私たちは代数の克服への道を進んでいます。

コンテンツエリアの内訳

一次方程式

一次方程式の問題は、いくつかの方法で提示できます。より簡単な線形方程式の質問では、与えられた線形方程式を解くことが求められます。より難しい線形方程式の質問では、与えられた状況を表す線形方程式を書くことが求められます。

電卓の練習問題はありません

この質問は 最も単純、簡単、そして最も直接的な代数の核心の質問の 1 つ それはわかります。この問題は、方程式だけでなく文脈も理解する必要がある現実世界の状況に当てはめることなく、線形方程式を解くことを求めているだけです。

答えの説明:

$k=3$ なので、方程式の k を 3 に置き換えることができ、${x-1}/{3}=3$ となります。 ${x-1}/{3}=3$ の両辺に 3 を掛けると $x-1=9$ が得られ、各辺に 1 を加算すると、結果は $x=10$ になります。 Dが正解です。

ヒント：

この質問に苦労した場合は、x の答えの選択肢を入力して、どれがうまくいったかを確認することで解決することもできます。プラグインすることはできますが、単純に方程式を解くよりも時間がかかります。

方程式を解いて x を見つける場合、答えを代入して再確認できます。答えの選択肢を x に代入し、方程式の両辺が等しい場合は、正しい答えがあることがわかります。

次の質問は、 もう少し挑戦的です なぜなら、それが提示する現実世界のシナリオを表す線形方程式を作成するように求められるからです。

答えの説明:

この問題に対処するには 2 つの方法があります。

アプローチ 1: アルマンドが送信したメッセージの合計数は、彼のテキスト メッセージの送信速度 (m テキスト/時間) に、彼がテキスト メッセージに費やした 5 時間を乗じたものに等しくなります。つまり、m テキスト/時間 × 5 時間 = 500 万ドルのテキストです。同様に、Tyrone が送信したメッセージの総数は、彼のテキスト メッセージの送信速度 (p テキスト/時間) に、彼がテキスト メッセージに費やした 4 時間を乗じたものに等しくなります。p テキスト/時間 × 4 時間 = $4p$ テキストです。 Armand と Tyrone によって送信されたメッセージの合計数は、Armand によって送信されたメッセージの合計数と Tyrone によって送信されたメッセージの合計数の合計に等しくなります: $5m+4p$。 Cが正解です。

アプローチ 2: 数字を選んで入力します。たとえば、数字を選んで、Armand が 1 時間あたり 3 通のテキスト メッセージを送信し、Tyrone が 1 時間あたり 10 通のテキスト メッセージを送信するとします。与えられた情報に基づいて、Armand が 5 時間テキストメッセージを送信した場合、Armand は (1 時間あたり 3 メッセージ)(5 時間) のテキスト、つまり 15 通のテキストを送信しました。ティロンが 4 時間テキストメッセージを送信した場合、ティロンは (1 時間あたり 10 メッセージ)(4 時間) テキスト、または 40 メッセージを送信しました。したがって、Armand と Tyrone が送信したテキストの総数は、$15+40=55$ のテキストになります。ここで、選択した数字を回答の選択肢に代入して、テキストの数が 55 のテキストと一致するかどうかを確認します。つまり、回答 C の場合、$5(3) +4(10)=15+40=55$ のテキストになります。したがって、C が正解です。注: この質問の場合、この戦略は時間がかかりましたが、より複雑な質問の場合は、これがより速く簡単なアプローチになる可能性があります。

ヒント：

これらの問題を一度に 1 ステップずつ解決してください。 Armand のテキスト メッセージの総数を計算し、次に Tyrone のテキスト メッセージの総数を計算し、それらを 1 つの式に結合します。急いで最終的な答えにジャンプしないでください。途中で間違えるかもしれません。

方程式系

方程式系の質問は、一次方程式の質問と同様の方法で提示されます。しかし、 彼らはもっと難しいです なぜなら、さらに多くの手順を実行したり、2 番目の方程式を作成したりする必要があるからです。

の より簡単な連立方程式の問題 2 つの変数を持つ 2 つの方程式が与えられた場合、1 つの変数を解くように求められます。

の より難しい方程式系の問題 では、与えられた状況を表す連立方程式を作成し、作成した方程式を使用して 1 つの変数を解く必要があります。

電卓の練習問題はありません

この質問はおそらく、 最も単純、簡単、最も単純な連立方程式の質問 それはわかります。方程式を設定し、単に x を解くように求めます。

答えの説明:

$x+y=−9$ の左辺と右辺を $x+2y =−25$ の対応する辺から引くと、$(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ となります。 、これは $y=−16$ に相当します。 $x+y=−9$ の $y$ を $−16$ に置き換えると $x+(−16)=−9$ となり、これは $x=−9−(−16) =7$ と等価です。正解は7です。

ヒント：

この質問が多肢選択式で出題された場合は、プラグインすることが良い選択肢になる可能性があります (ここでは当てはまりません)。ただし、回答を入力して作業内容を再確認することもできます。

これもかなり単純な連立方程式の問題ですが、 もう少し難しい x と y の両方の答えを提供する必要があるため (これにより、エラーが発生する可能性が高くなります)。

答えの説明:

$2y−x=−19$の両辺にxと19を加えると$x=2y+19$となります。次に、$3x+4y=−23$ の x に $2y+19$ を代入すると、$3(2y + 19)+4y=−23$ が得られます。この最後の式は、$10y+57=−23$ に相当します。 $10y+57=−23$ を解くと $y=−8$ が得られます。最後に、$2y−x=−19$ の y に−8 を代入すると、$2(−8)−x=−19$、つまり $x=3$ が得られます。したがって、与えられた連立方程式の解 $(x, y)$ は $(3, −8)$ となります。

ヒント：

プラグインすることも、この問題を解決する簡単な方法だったでしょう。連立方程式の問題で両方の変数を解くように求められた場合は、常にプラグインしてみてください。

以下は、 もう少し難しいです。 方程式が与えられたとしても、質問が何を尋ねているのか (どの変数を解く必要があるのか​​) を判断する必要があります。これは、現実世界のシナリオを使用して質問をするため、少し難しくなります。また、暗算を使用して解く必要があります (計算機を使用しないセクションにあるため)。

答えの説明:

牛肉のポンド当たりの価格が鶏肉のポンド当たりの価格と等しい場合の牛肉のポンド当たりの価格を決定するには、2 つの価格が等しいときの x の値 (7 月 1 日からの週数) を決定します。 $b=c$ の場合、価格は等しかった。つまり、$2.35+0.25x=1.75+0.40x$の場合です。この最後の式は $0.60=0.15x$ に相当するため、$x={0.6}/{0.15}=4$ となります。次に、牛肉 1 ポンドあたりの価格である $b$ を決定するには、$b=2.35+0.25x$ の $x$ に 4 を代入します。これにより、1 ポンドあたり $b=2.35+0.25(4)=3.35 ドルが得られます。したがって、D が正解です。

ヒント：

時間をかけて各ステップを進めてください。小さな間違いを犯し、間違った答えを得るのは簡単です。

電卓練習問題

以下は、代数の核心の中で最も難しい質問の 1 つです。質問で示された現実世界のシナリオに基づいて、2 つの方程式を作成し、それらを解く必要があります。

答えの説明:

販売されたサラダの数を決定するには、2 つの連立方程式を書いて解きます。 $x$ をサラダの販売数、$y$ を販売した飲み物の数とします。サラダの数と販売された飲み物の数を足したものは 209 なので、$x+y=209$ という式が成り立つはずです。各サラダのコストは 6.50、各ソーダのコストは 2.00、総収益は 836.50 であるため、$6.50x+2.00y=836.50$ という方程式も成り立つはずです。方程式 $x+y=209$ は $2x+2y=418$ と等価で、$6.50x+2.00y=836.50$ の各辺から $2x+2y=418$ の各辺を引くと $4.5x=418.​​50 となります。 $。したがって、販売されたサラダの数 x は、$x={418.50}/{4.50}=93$ となります。したがって、B が正解です。

ヒント：

これらの問題を一度に 1 ステップずつ解決してください。販売されたサラダと飲み物の合計数の方程式を書き出し、収益の方程式を計算して解きます。急いではいけません。そうしないと間違いを犯す可能性があります。

絶対値

通常、絶対値の質問は 1 つだけです SAT 数学セクションで。通常、この質問は非常に簡単で単純ですが、正しく答えるには絶対値の規則を知っている必要があります。絶対値であるものはすべて、次のような絶対値記号で囲まれます。 ||たとえば、$|-4|$ または $|x-1|$ です。

絶対値は、数直線に沿った前方または後方の距離を表します。

この意味は 絶対値記号にあるものはすべて正になります これは数直線に沿った距離を表し、負の距離を持つことは不可能であるためです。たとえば、上の数直線では、-2 は 0 から 2 離れています。絶対値の内側にあるものはすべて正になります。

これは、絶対値方程式には常に 2 つの解があることも意味します。 。たとえば、$|x-1|=2$ には、$x-1=2$ と $x-1=-2$ の 2 つの解があります。次に、それぞれの方程式を個別に解いて、2 つの解 $x=3,-1$ を見つけます。

絶対値問題に取り組むときは、 上で行ったように、ポジティブとネガティブの 2 つの別々のソリューションを作成する必要があることに注意してください。

電卓練習問題

答えの説明:

$|n−1|+1$ の値が 0 に等しい場合、$|n−1|+1=0$ になります。この方程式の両辺から 1 を引くと、$|n−1|=−1$ が得られます。方程式の左側の式 $|n−1|$ は $n−1$ の絶対値であり、先ほど述べたように、絶対値は距離を表すため負の数になることはありません。したがって、$|n−1|=−1$ には解がありません。したがって、$|n−1|+1$ の値が 0 に等しい n の値は存在しません。D が正解です。

ヒント：

絶対値の規則を覚えておいてください (絶対値は常に正です!)。ルールを覚えていれば問題は解けるはずです！

一次方程式のグラフ化

これらの質問は、グラフを読み取り、それを $y=mx+b$ 形式に解釈する能力をテストします。簡単におさらいすると、$y=mx+b$ は直線の傾きと切片の方程式です。ここで、m は傾きを表し、b は y 切片を表します。

これらの質問では、通常、線のグラフが表示され、線の方程式を書くために傾きと y 切片が何であるかを決定する必要があります。

電卓練習問題

答えの説明:

h と C の関係は、指定された直線の方程式で表されます。直線の C 切片は 5 です。点 $(0, 5)$ と $(1, 8)$ が直線上にあるため、直線の傾きは ${8-5}/{1-0 です。 }={3}/{1}=3$。したがって、h と C の関係は、直線の傾きと切片の式である $C=3h+5$ で表すことができます。 Cが正解です。

ヒント：

傾き切片形式 ($y=mx+b$) と傾き方程式 $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ を覚えておいてください。方程式内の各変数が何を意味するのかを理解してください。これらすべてを知っていれば、与えられたグラフ一次方程式の問題に合格できるはずです。

線形不等式と線形不等式系

これらは おそらく最も難しい代数の核心の問題 なぜなら、多くの学生は変数と不等式が組み合わされると苦戦するからです。不等式について簡単かつ徹底的に復習する必要がある場合は、不等式ガイドを参照してください。

これらの質問 通常、各セクションの多肢選択とグリッドインの終わり近くに表示されます。 これらの質問は、すでに設定されている簡単な不等式として提示されます (不等式を作成するように求められることも、不等式を使用した現実世界のシナリオが提示されることもありません)。簡単な方法で提示されていますが、これらの質問は難しく、間違いやすいので、時間をかけて取り組んでください。

電卓の練習問題

答えの説明:

$3x$ を引いて、$3x−5≥4x−3$ の両辺に 3 を加えると、$−2≥x$ が得られます。したがって、x が -2 以下の場合に限り、x は $3x−5≥4x−3$ の解となり、x が -2 以下である場合に限り、x は $3x−5≥4x−3$ の解ではありません。 −２より大きい。与えられた選択肢のうち、-1 のみが -2 より大きいため、x の値になることはできません。 A が正解です。

回答の選択肢を入力して、どれが機能しなかったかを確認することで、これに回答することもできます。 A を不等式に代入すると、$3(-1)-5≥4(-1)−3$ が得られます。不等式を単純化すると、-8≥-7 になりますが、これは当てはまらないため、A が正解です。

ヒント

不平等の法則を覚えておいてください！間違いを犯さないように、時間をかけて各ステップを進めてください。また、正しい答えを見つけるために、回答の選択肢を入力してみることを忘れないでください。

別の例を見てみましょう。

答えの説明:

(0, 0) は不等式系の解であるため、指定された系で x を 0 に、y を 0 に置き換えると、真の不等式が 2 つ生じるはずです。この置換の後、y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b.したがって、a は正であり、b は負です。したがって、a > b となります。選択肢 A が正解です。

ヒント：

4 つの変数を含むこの不等式系は、2 つの変数を含む不等式系を扱うのと同じように扱います。 (0,0) が解である場合、x=0、y=0 のときを意味することに注意してください。

Heart of Algebra の 4 つの主要戦略

これらの質問に対処するための戦略を、この記事全体の「ヒント」セクションに散りばめてきましたが、ここで要約します。

戦略 #1: ルールと公式を覚える

この種の代数の質問に正しく答えるには、不等式の規則、絶対値の規則、および直線の切片傾きバージョン ($y=mx+b$) の公式を知る必要があります。 ルールや公式がなければ、これらの質問はほとんど不可能です。

いずれかの概念についてさらに詳しいサポートが必要な場合は、線形方程式、連立方程式、絶対値、切片傾き形式、線形不等式および不等式の系に関する詳細なガイドを参照してください。

戦略 #2: 答えを差し込む

多肢選択式の質問では、次のことを行う必要があります。 正しい答えを見つけるために、与えられた方程式または不等式に答えの選択肢を当てはめることができるかどうかを常に確認してください。 。このアプローチは、方程式を解くよりもはるかに簡単な場合があります。

回答を差し込むと作業が遅くなる場合でも、少なくとも、作業をチェックするためにそれを使用することを検討する必要があります。見つけた答えの選択肢を入力して、バランスの取れた方程式になるか、不等式が正されるかどうかを確認してください。そうであれば、正しい答えがあることがわかります。

差し込んでください！差し込んでください！

戦略 #3: 数字を組み込む

答えを代入することが不可能な場合でも、上記の質問 2 のように、数字を代入することは可能であることがよくあります。差し込む数値を選択するときは、一般に、-1、0、または 1 を使用することはお勧めしません (間違った答えが返される可能性があるため)。必ず質問を読んで、どの数値を選択する必要があるかを確認してください。たとえば、質問 2 では、数字は送信されたテキスト メッセージの数を表しています。負の数のテキスト メッセージを送信することは不可能であるため、テキスト メッセージの数を表すために負の数を使用しないでください。

不等式の場合、これは特に重要であり、多くの場合、質問では「次のことはすべての $x>0$ に当てはまります。」となります。その場合、0 または -5 を入力することはできません。質問で設定されたパラメータであるため、0 より大きい数値のみを入力できます。

戦略 #4: 一度に一歩ずつ取り組む

Heart of Algebra の質問では、時間をかけて各ステップに取り組む必要があります。これらの質問には 5、10、15 のステップが含まれる場合があり、ステップ 3 で不正解となる小さな間違いを犯さないように時間をかけて確認する必要があります。あなたは自分のことをよく知っているので、小さなミスでポイントを失わないようにしてください。

次は何ですか？

Heart of Algebra の質問で何が予想されるかがわかったので、準備ができていることを確認してください。 他のすべての数学トピック SATでわかります。 私たちの数学ガイドはすべて、整数から比、円から多角形 (その他!) まで、数学セクションで取り上げられるすべてのトピックの戦略と練習問題を説明します。

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