3 × 3 行列の逆行列 です マトリックス これを元の行列と乗算すると、 単位行列 製品として。逆行列は線形代数の基本的な側面です。このプロセスは、連立一次方程式やさまざまな数学的応用を解く際に重要な役割を果たします。逆行列を計算するには、随伴行列を計算し、その行列式 (0 に等しくない) を調べることで行列の可逆性を確認し、式を適用して逆行列を導出する必要があります。

この記事では、3 × 3 行列の逆行列のさまざまな概念と、3 × 3 行列の余因子、随伴関数、行列式を計算して 3 × 3 行列の逆行列を求める方法について説明します。この記事の後半では、理解を深めるために解決された例も紹介します。また、ここから学んだことを確認するための練習問題も提供されます。

目次

• 3 × 3 行列の逆行列とは何ですか?
• 3 × 3 行列の逆行列を求めるには?
• 3 × 3 行列の逆行列を求めるために使用される要素
• 3 × 3 行列公式の逆数
• 行演算を使用して 3 × 3 行列の逆行列を求める

3 × 3 行列の逆行列とは何ですか?

3 × 3 行列の逆行列は、元の行列と乗算すると単位行列が得られる行列です。逆行列を見つけるには、随伴行列を計算し、行列式 (ゼロに等しくない) をチェックして行列が可逆かどうか (特異でないか) を判断し、式 A を適用します。^-1= (adj A) / (det A)。逆行列を使用すると、連立一次方程式を解き、さまざまな数学的演算を実行できます。

3 × 3 行列の逆行列を求めるには?

3 × 3 行列の逆行列を見つけるには、以下の手順に従います。

ステップ1： まず、行列が反転できるかどうかを確認します。これを行うには、行列の行列式を計算します。行列式がゼロでない場合は、次のステップに進みます。

ステップ2： 大きな行列内の小さな 2 × 2 行列の行列式を計算します。

ステップ 3: 余因子行列を作成します。

ステップ 4: 余因子行列を転置することにより、行列の Adjugate または Adjoint を取得します。

ステップ5: 最後に、共役行列の各要素を元の 3 × 3 行列の行列式で除算します。

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• 行列の転置

3 × 3 行列の逆行列を求めるために使用される要素

3 × 3 行列の逆行列を見つけるために使用される要素は主に 2 つあります。

100の10は何ですか

• 行列の随伴体
• 行列の行列式

3 × 3 行列の随伴

の 行列の随伴 A は、A の余因子行列の転置を行うことで求められます。行列の随伴を詳細に計算するには、提供される指示に従ってください。

3 × 3 行列の場合、要素の余因子は 決定要因 その要素を含む行と列を削除することによって形成される 2 × 2 行列の。補因子を見つけるときは、正の符号と負の符号を交互に繰り返します。

たとえば、行列 A が与えられたとします。

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

マイナー行列は次のように取得されます。

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

対角線上に乗算し、その積を左から右に減算することによって形成される 2 × 2 行列の行列式、つまりマイナーを計算します。

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

したがって、余因子行列は次のようになります。

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

余因子行列を転置することにより、随伴行列が得られます。

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

3 × 3 行列の行列式

上で説明したのと同じ例を使用して、行列 A の行列式を計算できます。

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

最初の行を使用して行列の行列式を計算します。

Det A = 2(2 の余因子) + 1(1 の余因子) + 3(3 の余因子)

A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

A = 2 + 4 – 6 であること

A = 0であること

確認してもいい 3×3行列の行列式を計算する裏技

3 × 3 行列公式の逆数

3 × 3 行列 A の逆行列を求めるには、式 A-1 = (adj A) / (det A) を使用できます。ここで、

• adj A は A の随伴行列です。
• det A は A の行列式です。

A-1 が存在するには、det A がゼロであってはなりません。これはつまり：

• あ^-1det A がゼロでない (A が非特異である) 場合に存在します。
• あ^-1det A がゼロ (A が単数) の場合、 は存在しません。

同じ例を使用して、3 × 3 行列の逆行列を求める手順は次のとおりです。

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

ステップ1： 随伴行列 (adj A) を計算します。

随伴行列を見つけるには、A の要素を対応する余因子で置き換えます。

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

ステップ2： A の行列式を求めます (det A)。

A の行列式を計算するには、3 × 3 行列の公式を使用できます。この場合、det A = -8 となります。

ステップ 3: 式 A を適用します。^-1= (adj A) / (det A) 逆行列 A を求める^-1。

マップとセット

随伴行列の各要素を A の行列式で割ります。

あ ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

分数を単純化すると、

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

行演算を使用して 3 × 3 行列の逆行列を求める

3×3 行列の逆行列を求めるには、次の手順に従います。

ステップ1： 与えられた 3×3 行列 A から始めて、同じサイズの単位行列 I を作成し、拡張行列の左側に A を、右側に I を線で区切って配置します。

ステップ2： 一連の行演算を左側の拡張行列に適用して単位行列 I に変換します。線の右側の行列は A になります。^-1、元の行列 A の逆行列です。

もっと詳しく知る、 行列の初歩的な演算

また、チェックしてください

• 行列の種類
• 可逆行列
• マトリックスの痕跡

3 × 3 行列の逆行列の解決例

例 1: の逆数を求める

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

解決：

D のマイナー行列 = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

D のマイナー行列 =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

行列の余因子、つまり X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

行列の転置 X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

ここで、最初の行を使用して D の行列式を求めます。

D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ D = 6+0+14 ということ

⇒ D = 20 であること

逆行列 D または D^-1= 調整 D / 決定 D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

例 2: の逆数を求める

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

行列のマイナー E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

行列 E の余因子、つまり X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

調整 E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

最初の行を使用して行列 E の行列式を見つけてみましょう。

E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

E= -1 + 0 + 1 であること

E = 0であること

∴行列 E の行列式は 0 に等しいので、行列 E の逆行列または E^-1不可能である。

コンピューターネットワーク

3 × 3 行列の逆行列に関する練習問題

Q1.次の 3×3 行列の逆行列を計算します。

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2.行列 B の逆行列を求める：

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3.行列 C が可逆かどうかを判断し、可逆である場合はその逆を求めます。

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4.行列 D の逆行列を計算します。

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5.行列 E について、可逆かどうかを確認し、可逆であればその逆行列を見つけます。

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

3×3 行列の逆 – FAQ

1. 3×3 行列の逆行列とは何ですか?

3×3 行列の逆行列は、元の行列と乗算すると単位行列が得られる別の行列です。

2. 逆数を見つけることが重要なのはなぜですか?

連立一次方程式、変換、およびさまざまな数学的演算を解くために不可欠です。

3. 3×3 行列の逆行列はどのように計算しますか?

通常は、随伴行列を見つけ、行列式のゼロ以外の値を確認し、特定の式を適用します。

4. 3×3 行列の逆行列が存在しないのはどのような場合ですか?

行列の行列式が 0 の場合は存在せず、特異になります。

5. 3×3 行列は逆行列を持つことができますか?

いいえ、非ゼロ行列式を持つ非特異行列のみが逆行列を持ちます。

6. 逆行列を見つける際の随伴行列の役割は何ですか?

随伴行列は、各要素に余因子を提供することで逆行列の計算に役立ちます。

7. 3×3 逆行列の概念はどの分野で広く使用されていますか?

3×3 逆行列の概念は、工学、物理学、コンピューター グラフィックス、およびさまざまな数学分野で使用されます。

8. 3×3行列の逆行列を求めるにはどうすればよいですか?

3×3 行列の逆行列を見つけるには、次の手順に従います。

• まず、行列の行列式を計算します。
• 行列式が 0 に等しくない場合は、次のステップに進みます。 0 の場合、行列には​​逆行列がありません。
• 注目している要素の行と列を除く、元の行列の要素ごとに 3 × 3 の行列を作成して、マイナー行列を見つけます。
• マイナー行列の要素にプラス記号とマイナス記号のパターンを適用して、余因子の行列を計算します。
• 行と列を交換して余因子の行列を転置します。
• 最後に、余因子の転置行列を行列式で割って、3×3 行列の逆行列を取得します。