ブール式の簡略化では、ブール代数の法則と規則が重要な役割を果たします。これらのブール代数の法則と規則を理解する前に、ブール演算の加算と乗算の概念を理解してください。

ブール加算

ブール代数の加算演算は OR 演算に似ています。デジタル回路では、AND 演算を使用せずに、OR 演算を使用して合計項を計算します。 A + B、A + B'、A + B + C'、および A' + B + + D' は、「合計項」の例の一部です。合計項の値は、1 つまたは複数のリテラルが true の場合は true、すべてのリテラルが false の場合は false になります。

ブール乗算

ブール代数の乗算演算は AND 演算に似ています。デジタル回路では、OR 演算を使用せずに AND 演算で積を計算します。 AB、AB、ABC、および ABCD は積用語の例の一部です。積項の値は、すべてのリテラルが true の場合は true、リテラルのいずれか 1 つが false の場合は false になります。

ブール代数の法則

ブール代数には次の法則があります。

交換法則

この法則は、変数をどの順序で使用しても関係ないことを示しています。つまり、変数の順序は重要ではありません。ブール代数では、OR と加算演算は似ています。以下の図では、OR ゲートは入力変数の順序がまったく重要ではないことを示しています。

マウスホイールが正しくスクロールしない

2 つの変数の場合、加算の交換法則は次のように記述されます。

2 つの変数の場合、乗算の交換法則は次のように記述されます。

結合法則

この法則は、変数の優先順位が同じ場合、操作は任意の順序で実行できることを示しています。 「*」と「/」は同じ優先順位を持ちます。以下の図では、結合則が 2 入力 OR ゲートに適用されます。

CSSの下線テキスト

3 つの変数の場合、加算の結合法則は次のように記述されます。

3 つの変数の場合、乗算の結合法則は次のように記述されます。

この法則によれば、3 つ以上の変数の AND 演算を行う場合、変数がグループ化される順序は関係ありません。以下の図では、結合則が 2 入力 AND ゲートに適用されます。

分配法則:

この法則によれば、2 つ以上の変数の OR 演算を実行し、その結果を 1 つの変数で AND 演算した場合、その結果は、その 1 つの変数と 2 つ以上の変数の AND 演算を実行した場合と同様になります。変数を入力し、その積の OR 演算を実行します。この法律はファクタリングのプロセスを説明しています。

3 つの変数の場合、分配法則は次のように記述されます。

ブール代数の規則

ブール代数には次の規則があり、主にブール式の操作と簡略化に使用されます。これらのルールは、ブール式を簡素化する上で重要な役割を果たします。

ルール 1: A + 0 = A

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。0 で OR 演算を実行すると、結果は入力変数と同じになります。したがって、変数値が 1 の場合、結果は 1 になり、変数値が 0 の場合、結果は 0 になります。図式的には、このルールは次のように定義できます。

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ルール 2: (A + 1) = 1

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。1 との OR 演算を実行すると、結果は常に 1 になります。つまり、変数の値が 1 または 0 の場合、結果は常に 1 になります。 、このルールは次のように定義できます。

ルール 3: (A.0) = 0

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。0 と AND 演算を実行すると、結果は常に 0 になります。この規則は、0 と AND 演算された入力変数は常に 0 に等しいと述べています。図的には、このルールは次のように定義できます。

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ルール 4: (A.1) = A

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。1 を使用して AND 演算を実行すると、結果は常に入力変数と等しくなります。このルールは、1 と AND 演算された入力変数は常に入力変数と等しいことを示します。図的には、このルールは次のように定義できます。

ルール 5: (A + A) = A

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。同じ変数で OR 演算を実行すると、結果は常に入力変数と等しくなります。このルールは、入力変数自体と OR をとった入力変数が常に入力変数と等しいことを示します。図的には、このルールは次のように定義できます。

ルール 6: (A + A') = 1

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。その変数の補数で OR 演算を実行すると、結果は常に 1 になります。この規則は、変数とその補数の OR が 1 に等しいことを示します。いつも。図的には、このルールは次のように定義できます。

ルール 7: (A.A) = A

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。同じ変数で AND 演算を実行すると、結果は常にその変数のみと等しくなります。このルールは、変数自体と AND 演算された変数は常に入力変数と等しいことを示します。図的には、このルールは次のように定義できます。

ルール 8: (A.A') = 0

仮定してみましょう。値が 0 または 1 の入力変数 A があります。その変数の補数で AND 演算を実行すると、結果は常に 0 になります。この規則は、変数とその補数の AND 演算が 0 に等しいことを示します。いつも。図的には、このルールは次のように定義できます。

ルール 9: A = (A')'

このルールは、変数の二重補数を実行すると、結果は元の変数と同じになるということを示しています。したがって、変数 A の補数を実行すると、結果は A' になります。さらに、もう一度 A' の補数を実行すると、元の変数である A が得られます。

ルール 10: (A + AB) = A

このルールは、ルール 2、ルール 4、および分配法則を使用して次のように証明できます。

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ルール 11: A + AB = A + B

この規則は、上記の規則を次のように使用して証明できます。

ルール 12: (A + B)(A + C) = A + BC

この規則は、上記の規則を次のように使用して証明できます。