確率の公式 確率を計算する際に使用される重要な数学ツールです。確率の公式を理解する前に、確率の概念を簡単に理解する必要があります。ランダムなイベントが発生する可能性は確率によって定義されます。確率とは予測の確率です。そのアプリケーションは、ゲーム戦略、ビジネスにおける確率に基づく予測の作成、人工知能の進化分野など、さまざまな領域に広がっています。
この記事では、確率の公式の意味と定義、および確率の計算にこれらの公式を使用する方法を学びます。また、確率に関連するさまざまな用語や、数学の問題を簡単に解決するためのさまざまな公式も表示されます。
目次
確率公式とは何ですか?
確率式は、有利な結果の数を可能な結果の合計で割ることにより、イベントの可能性を決定するために使用されます。この式を使用すると、特定の出来事に関連する確率を推定できます。
数学的には、この式は次のように書くことができます。
P(A) = 好ましい結果の数 / 起こり得る結果の総数
確率式は、起こり得る結果のセット全体に対する好ましい結果の比率を計算します。確率値は 0 から 1 の範囲内にあり、好ましい結果が合計結果を超えることはなく、好ましい結果が負の値になることはあり得ないことを示します。
学ぶ、
- 数学における確率
- 確率論
確率を計算するにはどうすればよいですか?
イベントの確率 = (有利な結果の数) / (イベントで起こり得る結果の総数)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
ここで、P(A) はイベント A の確率を表します。n(E) は好ましい結果の数、n(S) はイベントで起こり得る結果の総数です。
イベント A が発生しないことを示す P(A’) として表される補完イベントを考慮すると、式は次のようになります。
P(A’) = 1-P(A)
P(A’) はイベント A の逆で、イベント P(A) が発生するか、その補数の P(A’) が発生することを示します。
したがって、今では次のように言えます。 P(A) + P(A’) = 1
学ぶ、
- 確率における出来事
- 確率における事象の種類
確率公式に関する用語
確率公式に関連する最も一般的な用語には次のようなものがあります。
- 実験： 実験とは、特定の結果を生み出すために実行されるアクションまたは手順です。
- サンプルスペース: サンプル空間には、実験から得られる潜在的な結果がすべて含まれています。たとえば、コインを投げる場合、サンプル空間には {head, tail} が含まれます。
- 好ましい結果: 好ましい結果とは、意図された、または期待された結論と一致する結果です。 2 つのサイコロを振る場合、合計が 4 になる好ましい結果の例は、(1,3)、(2,2)、(3,1) です。
- トライアル： トライアルとは、ランダムな実験の実行を意味します。
- ランダムな実験: あ ランダム実験 考えられる結果が明確に定義されていることが特徴です。ランダムな実験の例は、コインを投げる場合で、結果は表か裏のいずれかになる可能性があります。つまり、結果は不確実になるということです。
- イベント： イベントは、ランダムな実験から得られる結果の合計を示します。
- 同様に発生する可能性のあるイベント: 等確率イベントとは、同じ発生確率を持つイベントです。あるイベントの結果が別のイベントの結果に影響を与えることはありません。
- 充実したイベント: 網羅的イベントは、考えられるすべての結果のセットがサンプル空間全体をカバーするときに発生します。
- 相互に排他的なイベント: 相互排他的なイベント 同時には起こり得ないものです。たとえば、コインを投げた場合、結果は表か裏のいずれかになりますが、両方を同時に得ることはできません。
確率式における事象
確率理論では、イベントは実験から得られる一連の結果を表します。多くの場合、サンプル空間全体のサブセットを形成します。イベント E の確率を P(E) として表すと、次の原則が適用されます。
Cのforループ
イベント E が不可能な場合、P(E) = 0 になります。
イベント E が確実な場合、P(E) = 1 になります。
確率 P(E) は 0 と 1 の間にあります。
2 つのイベント A と B について考えます。イベント A の確率 P(A) は、イベント B の確率 P(B) よりも大きくなります。
特定のイベント E の確率式は次のようになります。
P(E)= n(E)/ n(S)
ここで、n(E) はイベント E に有利な結果の数を表します。
n(S) は、サンプル空間内の結果の総数を示します。
さまざまな確率の公式
さまざまな確率式については以下で説明します。
古典的な確率の公式
P(A) = 好ましい結果の数 / 起こり得る結果の総数
加算ルールの式
2 つの別個のイベント (A と B など) の結合であるイベントを扱う場合、結合の確率は次のようになります。
P(A または B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
同時確率の公式
これは、イベント A と B の両方の異なるサブセットを構成する共通の要素を表します。式は次のように表すことができます。
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
相互に排他的なイベントの追加ルール
イベント A と B が相互に排他的である場合、つまりイベント A と B が同時に発生することができない場合、どちらかのイベントが発生する確率は、それぞれの確率の合計に等しくなります。
P(A または B)=P(A)+P(B)
補足ルールの式
A がイベントの場合、A ではない確率は次の補足規則で表されます。
P(A ではない) = 1 – P(A) または P(A’) = 1 – P(A)。
P(A) + P(A') = 1。
それらに基づくいくつかの確率公式は次のとおりです。
P(A.A’) = 0
P(A.B) + P (A’.B’) = 1
P(A’B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)
条件付きルールの式
イベント A の発生がすでにわかっている場合、イベント B が発生する確率は、条件付き確率と呼ばれます。次の式を使用して計算できます。
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): イベント A が発生したときのイベント B の確率 (条件付き)。
P (A/B): イベント B が発生したときのイベント A の確率 (条件付き)。
相対周波数の計算式
相対周波数の式は、現実世界のデータで観測された周波数に基づいています。この式は次のように与えられます
P(A) = イベント A の発生回数 / 試行または観察の合計数
乗算ルールを使用した確率の公式
イベントが他の 2 つのイベント (イベント A および B として示される) の同時発生を表す状況では、両方のイベントが同時に発生する確率は、次の式を使用して計算できます。
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (独立したイベントの場合)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (依存イベントの場合)
ばらばらのイベント
ばらばらのイベントとは、決して同時に発生しないイベントです。これらは相互排他的なイベントとも呼ばれます。
P(A∩B) = 0
ベイズの定理
ベイズの定理は、イベント B の発生を前提としてイベント A の確率を計算します。ベイズの定理の公式は次のように与えられます。
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/P(B)
学ぶ、 ベイズの定理
従属確率の公式
依存確率は、他のイベントの発生によって影響を受けるイベントです。依存確率の計算式は次のとおりです。
P(B および A) = P(A)×P(B | A)
独立した確率の公式
独立確率は、他のイベントの発生の影響を受けないイベントです。独立確率の公式は次のとおりです。
P(A および B) = P(A)×P(B)
二項確率の公式
二項確率式は次のように与えられます。
P(x) = n C バツ ・p バツ (1 − p) n−x または P(r) = [n!/r!(n−r)!]・p r (1 − p) n−r
ここで、n = イベントの総数
r または x = 成功したイベントの合計数。
p = 1 回の試行における成功確率。
nCr= [n!/r!(n−r)]!
Javaの文字列への変換1 – p = 失敗の確率。
学ぶ、 二項分布
正規確率の公式
正規確率の公式は次のように与えられます。
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
学ぶ、 正規分布
実験の確率公式
実験確率の公式は次のとおりです。
確率 P(x) = イベントの発生回数 / 試行の総数。
理論的な確率の公式
理論的な確率の公式は次のとおりです。
P(x) = 好ましい結果の数 / 起こり得る結果の数。
標準偏差の確率公式
標準偏差確率公式は次のように与えられます。
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
ベルヌーイ確率の公式
確率変数 X は確率 p のベルヌーイ分布を持ちます。式は次のとおりです。
P(X = x) = p バツ (1 – p) 1−x 、x = 0、1 の場合、x の他の値の場合は P(X = x) = 0
ここで、0 は失敗、1 は成功です。
学ぶ、 ベルヌーイ分布
確率公式クラス 10
クラス 10 では、コインを 1 枚投げる確率、2 枚のコインを投げる確率、3 枚のコインを投げる確率、サイコロを 1 つ投げる確率、2 つのサイコロを投げる確率、よくシャッフルされた山札からカードを引く確率など、基本的な確率を学習する必要があります。これらすべての問題は、たった 1 つの公式で解決できます。確率式クラス 10 は次のように与えられます。
P(E) = n(E)/n(s)
どこ、
P(E) はイベントの確率です
n(E) はイベントが発生した試行回数です。
n(S) はサンプル空間の数です
クラス 12 の確率公式
確率クラス 12 で使用されるさまざまな公式を以下の表に示します。
さまざまな確率の公式 | |
|---|---|
式の名前 | 式 |
実験的または経験的な確率公式 | イベントの発生回数 / 総試行回数。 |
古典的または理論的な確率公式 | 好ましい結果の数/起こり得る結果の総数 |
加算確率の公式 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
同時確率の公式 | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
相互に排他的なイベントの追加ルール | P(A または B)=P(A)+P(B) |
補足ルールの式 | P(A ではない) = 1 – P(A) または P(A’) = 1 – P(A)。 Java接続mysql P(A) + P(A') = 1 |
条件付きルールの式 | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
相対周波数の計算式 | P(A)= イベント A の発生回数 / 試行または観察の合計数 |
ばらばらのイベント | P(A∩B) = 0 |
ベイズの定理 | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/P(B) |
従属確率の公式 | P(B および A) = P(A)×P(B | A) |
独立した確率の公式 | P(A および B) = P(A)×P(B) |
二項確率の公式 | P(x) =nCバツ・pバツ(1 − p)n−xまたは P(r) = [n!/r!(n−r)!]・pr(1 − p)n−r |
正規確率の公式 | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
標準偏差の確率公式 | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
ベルヌーイ確率の公式 | P(X = x) = pバツ(1 – p)1-x、x = 0、1の場合、xの他の値の場合はP(X = x) = 0です。 |
また、チェックしてください
確率公式の例
例 1: 標準デッキからカードをランダムに選択します。女性の顔のカードを引く確率はどれくらいですか?
解決：
52 枚のカードを含む標準的なデッキの場合: 考えられる結果の合計 = 52
有利なイベントの数 (女王のみを女性の顔として考慮) = 4
したがって、確率 P(A) は次の式を使用して計算されます。
P(A) = 好ましい結果の数 ÷ 結果の総数
= 4/52
Q1はいつ終わりますか= 1/13。
例 2: イベント E の確率が P(E)=0.35 で示される場合、「E ではない」補数イベントの確率はいくらですか?
解決：
P(E)=0.35 とすると、次の相補確率式を使用できます。
P(E) + P(E ではない) = 1
既知の値を代入すると、次のようになります。
P(E ではない) = 1 – P(E)
P(E ではない) = 1 – 0.35
したがって、P(E ではない) = 0.65
例 3: 危険な火災は 1% 程度で非常にまれですが、バーベキューによる煙の発生は 20% 程度でかなり一般的です。危険な火災の 80% で煙が発生する場合、危険な火災を見つけます。
解決：
ベイズの定理を使用した、煙がある場合の危険な火災の確率:
P(火|煙) = {P(火)P(火の煙)}/P(煙)
P(Fire)=0.01(1%) および P(Smoke|Fire)= 0.80 (80%) の場合、これらの値を代入できます。
P(火災 | 煙)=( 0.02×0.90)/ 0.30
(火 | 煙)=0.018/0.30
(火災 | 煙)= 0.06 = 6%。
例 4: 袋の中に、緑色の電球が 2 個、オレンジ色の電球が 4 個、白色の電球が 6 個あります。袋から電球がランダムに選ばれるとき、緑の電球か白い電球のどちらかが選ばれる確率はどれくらいですか?
解決：
バッグ内の電球の合計数は、緑 2 個 + オレンジ 4 個 + 白 6 個 = 12 個です。
緑の電球の数 = 2、白の電球の数 = 6
確率 = (緑色の電球の数 + 白色の電球の数) / 電球の合計数
確率 = (2+6)/12
確率 = 8/12
確率 = 2/3。
確率公式の練習問題
Q1. 袋に入ったビー玉のコレクション (赤 8 個、青 9 個、緑 6 個) から、交換せずに 2 個のビー玉がランダムに選択されます。選択されたビー玉が両方とも青色である確率はどれくらいですか?
Q2. 黒のペンが 6 本、青のペンが 4 本、赤のペンが 7 本入っている引き出しに、ランダムにペンが引かれます。ペンが黒か青のどちらかである確率はどれくらいですか?
Q3. 完全にシャッフルされた 52 枚のカードのデッキからカードを 1 枚引き、そのカードが次のことを行う確率を決定します。
- 王様になってください。
- 王になってはいけません。
Q4. ある調査によると、70％の人がチョコレートを好んでおり、その中でも60％の人がバニラも好きだという。チョコレートが好きだとすると、その人がバニラを好む確率はどれくらいでしょうか?
Q5. 6 面体のサイコロを振ったときに奇数が出る確率を求めます。
確率の公式 – よくある質問
1. 確率の意味とは何ですか?
ランダムなイベントが発生する可能性は確率によって定義されます。確率とは予測の確率です。
2. 確率式の意味は何ですか?
確率式は、有利な結果の数を可能な結果の合計で割ることにより、イベントの可能性を決定するために使用されます。確率値は 0 から 1 の範囲内にあり、好ましい結果が合計結果を超えることはできず、好ましい結果が負の値になることはあり得ないことを示します。
3. 確率における U と ∩ という表記の意味は何ですか?
確率の記号 U は一様分布を表します。一方、記号∩は集合の積集合を意味します。簡単に言うと、2 つのセットの共通部分は、両方のセットに共有されるすべての要素を含む最も広範なセットです。
4. 確率を計算するための従来の公式は何ですか?
イベントの確率 = (有利な結果の数) / (イベントで起こり得る結果の総数)
P(A) = n(E) / n(S)
javascript window.openP(A) <1
ここで、P(A) はイベント A の確率を表します。n(E) は好ましい結果の数、n(S) はイベントで起こり得る結果の総数です。
5. 相補式とは何ですか?
A がイベントの場合、A ではない確率は次の補足規則で表されます。
P(A ではない) = 1 – P(A) または P(A’) = 1 – P(A)。
P(A) + P(A') = 1。
6. 素のイベントとは何ですか?
ばらばらのイベントとは、決して同時に発生しないイベントです。これらは相互排他的なイベントとも呼ばれます。
P(A∩B) = 0。
7. ベイズの定理とは何ですか?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/P(B)
ベイズの定理は、イベント B が発生した場合にイベント A が発生する確率を計算します。
8. 条件式とは何ですか?
イベント A の発生がすでにわかっている場合、イベント B が発生する確率は、条件付き確率と呼ばれます。次の式を使用して計算できます。
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): イベント A が発生したときのイベント B の確率 (条件付き)。
P (A/B): イベント B が発生したときのイベント A の確率 (条件付き)。
9. 確率の実例にはどのようなものがありますか?
天気予報、カード ゲーム、政治投票、サイコロ ゲーム、コイン投げなどが確率の例です。