集合シンボルは、オブジェクトの集合とそのさまざまなプロパティを扱う数学の分野である集合論で使用されるすべてのシンボルの総称です。セットは明確に定義されたオブジェクトのコレクションであり、コレクション内の各オブジェクトは要素と呼ばれ、セットの各要素は非常に具体的なルールに従います。一般に、英語のアルファベットの大文字は集合を表すために使用され、集合論では一部の文字が特定の集合を表します。
数学のこの分野の学習では多くの記号が使用されます。一般的な記号には、{}、|、:、∈、∉、⊆、U、Ø などがあります。これらすべての記号については、この記事で詳しく説明します。これらのシンボルの歴史も含めて。それでは、集合論で使用されるさまざまな集合記号について学ぶ旅を始めましょう。
目次
セットシンボルとは何ですか?
集合記号は、同様の特性を持つオブジェクト、数値、項目のグループを表し説明するために使用される数学の基本的な構成要素です。これらのシンボルは、セットとその相互作用に関する難しいアイデアを伝えるための明確で一貫したアプローチを提供します。最も典型的な集合記号は ∈ で、これはメンバーシップを表し、「属する」と発音されます。 ∈ は、要素が特定のセットの一部であることを示します。
対照的に、∉は、要素がセットの一部を形成しないことを意味します。 ⊆、⊂、∪、∩、∅ などは、集合論における記号の一般的な例の一部です。これらおよびその他の記号を使用すると、数学者は演算を定義し、演算を指定し、正確な数学的主張を定式化することができ、さまざまな数学的専門性や実用的な用途の基礎を築くことができます。
詳しくはこちら 集合論 。
設定記号例
集合の交差を表す記号を例として使用してみましょう。 E と F を 2 つのセットとし、Set E = {1, 3, 5, 7} および Set F = {3, 6, 9} とします。次に、∩ 記号は両方のセットの共通部分、つまり E ∩ F を表します。
ここで、E ∩ F には、集合 E と F の両方に共通するすべての要素、つまり {3} が含まれます。
結論として、∩ 記号は、2 つ以上のセットで共有される要素を識別するために使用されます。交差により、交差されるすべてのセットに共有される要素を持つセットのみが生成されます。
詳しくはこちら 集合の交差 。
セット記号の歴史
1874 年から 1897 年にかけて、ドイツの数学者はこう呼びました。 ゲオルク・フェルディナンド・ルートヴィヒ・フィリップ・カントール 集合論と呼ばれる抽象理論を開発しました。彼は、実数の無限セットの特定の形式に関連するいくつかの事実上の懸念を調査しているときに、これを提案しました。概念によれば、セットとは、特定の定義された個別の観察対象をグループ化したものです。これらはすべて、セットのメンバーまたはコンポーネントと呼ばれます。実数の代数の組み合わせの性質はカントールの理論の基礎です。
集合記号の基本概念
集合論では、学校教育のさまざまなレベルでさまざまなアイデアが扱われます。 セットの表現、セットのタイプ、セットの演算 (和集合や積集合など)、セットのカーディナリティとリレーションなどが重要な概念です。 集合論の重要な概念のいくつかは次のとおりです。
ユニバーサルセット
大文字の「U」は、ユニバーサル セットを表すためによく使用されます。 ε(イプシロン)で表されることもあります。これは、独自のセットだけでなく、他のセットのすべての要素を含むセットです。
セットの補数
集合の補集合は、検査対象の集合の要素を除く、普遍的な集合の構成要素のすべてで構成されます。 A がセットの場合、その補数には、A に含まれない指定されたユニバーサル セット (U) のすべてのメンバーが含まれます。 セットの補数は A' または A として表示または表現されますcそして次のように定義されます。
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
詳しくはこちら セットの補数 。
セットビルダー表記法
セット ビルダー表記法は、セットのすべての要素をリストする必要がなく、セットのすべての要素が従うルールを指定するだけでセットを表現する方法です。これらの表記法の例をいくつか示します。
A が実数のコレクションの場合。
A = {x : x ∈ R}
A が自然数の集合の場合。
A = {x : x> 0 および x ∈ Z]
どこ と 整数のセットです。
続きを読む、 集合の表現 。
数学における記号の設定
さまざまな物や量を参照するために、セット シンボルでは、変数シンボルの事前定義されたリストがよく使用されます。 集合記法を読んで作成するには、まずさまざまな状況で記号を使用する方法を理解する必要があります。 このカテゴリでは、演算、関係などに関連するすべての集合論の表記法と記号を、その意味と例とともに見てみましょう。
数体系で使用される記号
数体系で使用される記号を次の表に示します。
| シンボル | 名前 | 意味/定義 | 例 |
|---|---|---|---|
| W または 𝕎 | 整数 | これらは自然数です。 | N = {1, 2, 3, . 。 。 } 1 ∈ N |
| Nまたはℕ | 自然数 | 自然数は、1 から始まる数を数えることと呼ばれることもあります。 | W = {1, 2, 3, 4, 5, . 。 。 } 0 ∈ W |
| Zまたはℤ | 整数 | 整数は、負の値も含まれることを除けば、整数と同等です。 | Z = { であることがわかっています。 。 。 、 -3、 -2、 -1、 0、 1、 2、 3 。 。 。} -6 ∈ Z |
| Qまたはℚ | 有理数 | 有理数とは、a/b で表される数のことです。この場合、a と b は b ≠ 0 の整数です。 | Q= x=a/b、a、b ∈ Z、および b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| Pまたはℙ | 無理数 | a/b の形式で表現できない数は無理数と呼ばれます。つまり、有理数ではないすべての実数です。 主キー複合キー | P = x π、および∈ P |
| Rまたはℝ | 実数 | 整数、有理数、無理数が実数を構成します。 | R=x 6.343434 ∈ R |
| Cまたはℂ | 複素数 | 複素数は実数と虚数を組み合わせたものです。 | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6+2 私 ∈C |
集合論の記号
区切り文字は、指定されたセットの特定のステートメントまたは関数本体の始まりと終わりを示す特殊文字または一連の文字です。以下は、区切り文字集合論の記号と意味です。
| シンボル | 名前 | 意味/定義 | 例 |
|---|---|---|---|
| {} | セット | これらの括弧内には、一連の要素/数字/アルファベットがセットになっています。 | {15、22、c、d} |
| | | そのような | これらは、セットに含まれるものを指定してセットを構築するために使用されます。 | q> 6 このステートメントは、q が 6 より大きくなるように、すべての q のコレクションを指定します。 |
| : | そのような | | の代わりに : 記号が使用されることもあります。シンボル。 | 上記の文は、 q と書くこともできます。 |
集合理論における集合と関係記号
集合論のシンボルは、特定の集合を識別するだけでなく、集合とその構成要素との関係など、個別の集合間の関係や集合内の関係を決定/表示するために使用されます。以下の表は、そのような関係記号とその意味および例を示しています。
CPLD対FPGA
| シンボル | 名前 | 意味/定義 | 例 |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | のコンポーネントです | これは、要素が特定のセットのメンバーであることを指定します。 | 集合 A={12, 17, 18, 27} の場合、27 ∈ a と言えます。 |
| b ∉ B | ～のコンポーネントではありません | これは、要素が特定のセットに属していないことを示します。 | 集合 B={c, d, g, h, 32, 54, 59} の場合、集合内の要素以外の要素はこの集合に属しません。例として、18 ∉ B です。 |
| A = B | 対等関係 | 提供されたセットは、同じコンポーネントを持つという意味で同等です。 | P={16, 22, a} および Q={16, 22, a} とすると、P=Q となります。 |
| A ⊆ B | サブセット | A のすべての項目が B に存在する場合、A は B のサブセットになります。 | A= {31, b} および B= {a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A⊂B | 適切なサブセット | P が B の部分集合であり、B に等しくない場合、P は B の適切な部分集合であると言われます。 | A= {24, c} および B= {a, c, 24, 50} A⊂B |
| A ⊄ B | サブセットではありません | 結果として、セット A はセット B のサブセットではありません。 | A = {67,52} および B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | スーパーセット | セット B が A のサブセットである場合、A は B のスーパーセットです。セット A はセット B と同じか、それより大きい場合があります。 | A = {14, 18, 26} および B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | 適切なスーパーセット | セット A はセット B のスーパーセットであるため、セット B よりも多くの要素があります。 | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A⊅B | スーパーセットではありません | B のすべての要素が A に存在しない場合、A は B の真のスーパーセットではありません。 | A = {11, 12, 16} および B = {11, 19} {11、12、16} ⊅ {11、19} |
| Ø | 空集合 | 空のセットまたは null セットとは、要素が含まれていないセットです。 | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| で | ユニバーサルセット | 独自のセットを含む、関連するすべてのセットの要素を含むセット。 | A = {a,b,c} および B = {1,2,3,b,c} の場合、U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A|またはn{A} | セットのカーディナリティ | カーディナリティは、特定のコレクション内のアイテムの数を指します。 | A= {17, 31, 45, 59, 62} の場合、|A|=5 となります。 |
| P(X) | パワーセット | べき乗集合は、集合自体とヌル集合を含む、集合 X のすべての部分集合の集合です。 | X = {12, 16, 19} の場合 P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16、19}} |
集合論における演算子ベースのシンボル
例を挙げて、和集合、補集合、積集合、差分などの多数の演算の集合論の記号と意味を学びます。
| シンボル | 名前 | 意味/定義 | 例 |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | 集合の和集合 | セットの結合では、提供されたセット内のすべてのコンポーネントを結合することによって、まったく新しいセットが作成されます。 | A = {p、q、u、v、w} B = {r、s、x、y} A ∪ B (和集合 B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | 集合の交差 | 両方のセットの共通コンポーネントが交差部分に含まれます。 | A = {4, 8, a, b} および B = {3, 8, c, b} の場合、 A ∩ B = {8, b} |
| バツcまたはバツ' | セットの補完 | セットの補足は、提供されたセットに属さないすべてのもので構成されます。 | A がユニバーサルセットで、A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} および B = {13, 15, 17, 18, 19} の場合、 X' = A – B ⇒ X' = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A − B | セット差 | 差分セットは、あるセットの項目が別のセットには見つからない項目を含むセットです。 | A = {12、13、15、19} および B = {13、14、15、16、17} A – B = {12, 19} |
| A×B | 集合のデカルト積 | デカルト積は、集合の順序付けされたコンポーネントの積です。 | A = {4、5、6} および B = {r} さて、A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A Δ B | セットの対称差 | A Δ B = (A – B) U (B – A) は対称差を表します。 | A = {13、19、25、28、37}、B = {13、25、55、31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
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- セットの種類
- セットに対する操作
セットシンボルに関する解決例
例 1: P={21, 32, 43, 54, 65, 75} および Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} の 2 つのセットがある場合、P∪Q の値は何ですか?
答え：
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} および Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
例 2: |Y| の値は何ですか? Y={13, 19, 25, 31, 42, 65} の場合?
答え：
|Y| = セットのカーディナリティ = セット内の要素の数が解になります。
|Y| = n(Y)=6、集合 Y には 6 つの要素があるため。
例 3: 値 P={a,c,e} および Q={4,3} を持つ 2 つのセットが与えられた場合、それらのデカルト積を求めます。
答え：
デカルト積 = P × Q
P={b, d, f} かつ Q={5, 6} の場合
すると、P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6)、(b,5)、(d,6)}
例 4: P = {x: x は 24 の倍数の自然整数、Q = {x: x は 8 より小さい自然数} と仮定します。 P ∪ Q を決定します。
答え：
とすれば
P = {1、2、3、4、6、8、12、24}
配列cの文字列Q = {1、2、3、4、5、6、7}
結果として、P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
例 5: P = {3, 5, 7}、Q = {2, 3, 4, 6} と仮定します。 (P ∩ Q) を求めます。
答え：
与えられた場合、P = {4, 6, 8}、Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
したがって、
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
例 6: P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} および Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14} の場合、次のように決定します。
(i) P-Q および (ii) P-Q。
答え：
考えると、
P = {4、5、7、8、9、10} および Q = {3、5、7、9、12、14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
集合記号の練習問題
質問1： セットを考えると:
- A = {2、4、6、8}
- B = {4、8、12、16}
集合 A と B の和集合内の要素を決定します。
質問2： セットを考えてみましょう:
- X = {1、2、3、4、5}
- Y = {3、4、5、6、7}
集合 X と Y の交点を見つけます。
質問 3: 次のセットがあるとします。
- P = {a、b、c、d}
- Q = {c、d、e、f}
セット P – Q および Q – P の要素を計算します。
質問4: 次のセットがあるとします。
- U = {1、2、3、4、5}
- V = {4、5、6、7}
集合 V が集合 U の部分集合であるかどうかを調べます。
質問5: セットを考えてみましょう。
- S = {リンゴ、バナナ、オレンジ、ナシ}
- T = {洋ナシ、マンゴー、チェリー}
集合 S と T のデカルト積を求めます。
質問6: ユニバーサル セットがあるとします。
- U = {a、b、c、d、e、f、g、h、i、j}
そしてセット:
- E = {b、d、f、h、j}
- F = {a、c、e、g、i}
普遍集合 U に関して集合 E と F の補数を計算します。
セットシンボルに関するよくある質問
1. セットシンボルを定義します。
セット シンボルは、エンティティ/数値/オブジェクトのグループ化、他のセットとの関係、さまざまな演算 (和集合、交差、補数、差分)、および関連する特徴を研究するブランチです。
2. この記号⊆は何を表していますか?
記号 ⊆ は、 のサブセットを意味します。サブセットは、あたかも別のセットのすべての要素であるかのように項目が追加されたセットです。
3. セットの ∪ は何を意味しますか?
「∪」は集合和集合の記号です。 A ∪ B は、集合 A と B の要素をすべて含む集合です。
4. P = Q は何を表しますか?
セット P がセット Q と等しい場合、P と Q のメンバーは同じです。例えば：
P = {4,5,6} および Q = {6,5,4}
結果として、P = Q となります。
5. 数学では、∩ は何を意味しますか?
「∩」は 2 つのセットの結合を意味します。 A ∩ B は、A と B の両方が共有する項目を含むセットです。
6. 集合の ∈ とは何ですか?
∈ は「に属する」を意味する記号です。 b ∈ B の場合、b が B の要素であることを示します。
7. 集合 N ={1, 2, 3, 4, 5, ... は何ですか。 。 。} として知られている？
自然数の集合は N = {1, 2, 3, 4, 5, …} として定義され、1 から無限数までのすべての正の数が含まれます。このコレクションは数学にとって重要であり、順序付けとカウントの両方のフレームワークを提供します。
8. セットの A × B とは何ですか?
集合 A と B のデカルト積は、集合記号では A x B として示されます。これは、最初の要素がセット A から抽出され、2 番目の要素がセット B から抽出される、考えられるすべての順序付きペアを含むセットです。
9. A ∩ B は何と読みますか?
A∩B は、A 交差点 B と発音されます。これは、両方のセットに共通する要素を含むセットを表します。
10. 集合論における Ø は何を意味しますか?
集合論では、項目を持たない空集合の考え方は、記号 Ø (空集合と発音します) で表されます。
11.AUBとは何ですか?
数学における AUB は、集合 A と B の和集合を表します。集合 A と集合 B の両方のすべての要素を含む集合を指します。
12. ∅ は {} と同じですか?
はい、∅ と {} はどちらも数学における空集合を表します。したがって、両方は同じものの異なる表記です。