相似な三角形 同じ形状の三角形ですが、サイズは可変です。相似な三角形は、互いに比例した対応する辺と、互いに等しい対応する角度を持ちます。相似な三角形は合同な三角形とは異なります。 2 つの合同な図形は常に相似ですが、2 つの相似な図形が合同である必要はありません。

2 つの三角形は、対応する角度が一致し、辺が比例している場合に類似しているとみなされます。これは、相似な三角形は、サイズが異なる場合でも同じ形状であることを意味します。一方、三角形は、同じ形状を共有するだけでなく、同じ長さの対応する辺がある場合に合同であると定義されます。

さあ、もっと詳しく学びましょう 類似の三角形とそのプロパティ、解決済みの例などについては、この記事で詳しく説明します。

目次

• 相似三角形とは何ですか?
• 相似な三角形の定義
• 相似な三角形の例
• 基本比例定理 (タレス定理)
• 相似三角形の基準
• 相似な三角形の公式
• 幾何学における相似な三角形の公式
• 相似な三角形のルール
• 角度-角度 (AA) または AAA 類似性定理
• 側角側または SAS の相似定理
• サイド-サイド-サイドまたは SSS 類似性定理
• 相似な三角形を見つけるには?
• 相似三角形の面積 – 定理
• 相似な三角形と合同な三角形の違い
• 相似三角形の応用
• 相似な三角形に関する重要な注意事項
• 相似三角形に関する解決済みの質問
• 練習問題 相似三角形

何が似ているのか 三角形？

相似三角形とは、互いに似ているが、サイズが異なる可能性がある三角形です。類似したオブジェクトは同じ形状ですが、サイズが異なります。これは、拡大または縮小すると、類似した形状が互いに重なり合う必要があることを意味します。類似形状のこの性質は次のように知られています。 類似性 。

同様の三角形の定理が 3 つあります。

• AA (または AAA) または角度-角度相似定理
• SAS または側角側相似定理
• SSS またはサイドサイドサイド類似性定理

相似な三角形の定義

2 つの三角形は、対応する角度が等しく、対応する辺の比率が同じである場合、相似な三角形と呼ばれます。 2 つの相似な三角形の対応する角度は等しくなければなりません。相似な三角形は、三角形の各辺の長さが異なっていてもかまいませんが、対応する辺の長さの比率は同じでなければなりません。

2 つの三角形が類似している場合、それは次のことを意味します。

日付を文字列にフォーマットする

• 三角形内の対応する角度のペアはすべて等しいです。
• 三角形の対応する辺のすべてのペアは比例します。

象徴 〜 は、類似した三角形間の類似性を表すために使用されます。そこで、２つの三角形が相似するとき、△ABC〜△DEFと書きます。

相似な三角形の例

相似な三角形のさまざまな例を次に示します。

• 比率にある辺を持つ 2 つの三角形を選択すると、それらは相似な三角形になります。
• 旗竿とその影は、同様の三角形を表します。

下図の三角形は相似で、△ABC〜△PQRと表します。

基本比例定理 (タレス定理)

基本比例定理 は、タレスの定理としても知られ、三角形の相似性に関連する幾何学の基本的な概念です。三角形の一辺に平行に線を引くと、他の二辺が均等に分割されるというものです。簡単に言うと、三角形の 1 つの辺に平行な線が他の 2 つの辺と交差する場合、それらの辺は比例して分割されます。

数学的には、線 DE が三角形 ABC の一辺に平行に引かれ、点 D および E でそれぞれ辺 AB および AC と交差する場合、基本比例定理によれば、次のようになります。

BD/DA = CE/HER

この定理は、元の三角形の平行線と辺によって形成される三角形の類似性の結果です。具体的には、三角形 ADE と ABC、および三角形 ADC と AEB は、対応する角度が等しいため相似です。その結果、相似な三角形の対応する辺の比率は等しく、基本比例定理で説明される比例関係が生じます。

基本的な比例定理は、平行線や三角形に関するさまざまな問題を解決するために、幾何学や三角法で広く使用されています。これは、相似な三角形の特性と、それらの対応する辺と角度の関係を理解するための基本原則として機能します。さらに、平行線定理やさまざまな幾何学的構造や証明への応用など、幾何学におけるより高度な概念の基礎を形成します。

相似三角形の基準

2 つの三角形が類似している場合、それらは次のルールのいずれかを満たしている必要があります。

• 2 つの対応する角度のペアは等しい。 (AAルール)
• 3 組の対応する辺は比例します。 (SSSルール)
• 2 つの対応する辺は比例し、それらの間の対応する角度は等しいです。 (SAS ルール)

詳細を読む: 相似な三角形の基準

相似な三角形の公式

最後のセクションでは、与えられた三角形が相似であるかどうかを検証できる 2 つの条件を検討しました。条件は、2 つの三角形が相似である場合です。対応する角度が等しいか、対応する辺が比例しています。いずれかの条件を使用すると、次の一連の相似三角公式から、△PQR と △XYZ が相似であることが証明できます。

幾何学における相似な三角形の公式

△PQRと△XYZの場合、

1. ∠P = ∠X、∠Q = ∠Y、∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

上の 2 つの三角形は相似です、つまり、△PQR 〜 △XYZ です。

相似な三角形のルール

相似定理は、2 つの三角形が相似であるかどうかを見つけるのに役立ちます。三角形の角度や辺の尺度がわからない場合は、相似定理を使用します。

以下に示すように、類似性ルールには主に 3 つのタイプがあります。

• AA (または AAA) または角度-角度相似定理
• SAS または側角側相似定理
• SSS またはサイドサイドサイド類似性定理

角度-角度 (AA) または AAA 類似性定理

AA の類似性基準では、三角形の任意の 2 つの角が別の三角形の任意の 2 つの角とそれぞれ等しい場合、それらは類似した三角形でなければならないと規定されています。 AA の相似ルールは、角度の大きさだけがわかっていて、三角形の辺の長さがわからない場合に簡単に適用できます。

以下の画像で、∠B = ∠G、および ∠C = ∠F であることがわかっている場合:

そして、AA の類似性基準により、△ABC と △EGF は類似している、または △ABC 〜 △EGF であると言えます。

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF および ∠A = ∠E。

側角側または SAS の相似定理

SAS の相似定理によると、最初の三角形の 2 つの辺が 2 番目の三角形の 2 つの辺に正確に比例し、個々の三角形の 2 つの辺によって形成される角度が等しい場合、それらは相似な三角形である必要があります。この規則は通常、両方の三角形の 2 つの辺の長さと、それらの 2 つの辺の間に形成される角度しかわかっていない場合に適用されます。

以下の図で、AB/DE = AC/DF、∠A = ∠D であることがわかっている場合、

そして、SAS の類似性基準により、△ABC と △DEF は類似している、または △ABC 〜 △DEF であると言えます。

サイド-サイド-サイドまたは SSS 類似性定理

SSS の類似性定理によれば、2 つの三角形のすべての辺の対応する比率が等しい場合、2 つの三角形は互いに類似します。この基準は、三角形の辺の寸法しかなく、三角形の角度についての情報が少ない場合によく使用されます。

以下の図では、PQ/ED = PR/EF = QR/DF であることがわかっている場合、

そして、SSS の類似性基準により、△PQR と △EDF は類似している、または △PQR 〜 △ EDF であると言えます。

相似な三角形のプロパティ

相似な三角形にはさまざまな特性があり、さまざまな幾何学的な問題を解決するために広く使用されています。相似な三角形に共通する特性のいくつかは次のとおりです。

• 相似な三角形の形は固定されていますが、サイズは異なる場合があります。
• 相似な三角形の対応する角度は等しい。
• 相似な三角形の対応する辺は共通の比率になります。
• 相似な三角形の面積の比は、対応する辺の比の二乗に等しい。

相似な三角形を見つけるには?

上記の定理を使用して、指定された 2 つの三角形が相似な三角形であることを証明できます。以下の手順に従って、指定された三角形が類似しているかどうかを確認できます。

ステップ1： 三角形の指定された寸法 (対応する辺または対応する角度) を書き留めます。

ステップ2： これらの寸法が相似三角形定理 (AA、SSS、SAS) の条件のいずれかに従っているかどうかを確認します。

ステップ3 : 指定された三角形は、類​​似性定理のいずれかを満たしている場合、類似性を示す 〜 を使用して表すことができます。

これは、次の例を参考にするとよりよく理解できます。

例：∠A = 65°、∠B = 70°、∠P = 70°、∠R = 45°のデータを使用して、△ABCと△PQRが相似な三角形であるかどうかを確認します。

与えられた角度の測定値を使用しても、与えられた三角形が AA 類似性基準に従っているかどうかを結論付けることはできません。 3 番目の角度の尺度を見つけて評価してみましょう。

三角形の角度和の性質を利用すると、△ABCの∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°であることがわかります。

同様に、△PQRの∠Q = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

したがって、△ABCと△PQRでは、次のように結論付けることができます。

∠A = ∠Q、∠B = ∠P、∠C = R

△ABC 〜 △QPR

相似三角形の面積 – 定理

相似三角形の面積定理では、2 つの相似な三角形について、三角形の面積比は対応する辺の比の 2 乗に比例すると述べています。 2 つの相似な三角形 ΔABC と ΔPQR が与えられたとします。

相似三角形定理によると:

(ΔABCの面積)/(ΔPQRの面積) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

相似な三角形と合同な三角形の違い

相似三角形と合同三角形は、さまざまな問題を解決するために幾何学で広く使用される 2 つのタイプの三角形です。三角形の各タイプには異なるプロパティがあり、それらの基本的な違いについては以下の表で説明します。

相似三角形の応用

私たちが実生活で目にする相似三角形のさまざまな応用例は次のとおりです。

• さまざまなオブジェクトの影と高さは、相似な三角形の概念を使用して計算されます。
• マップ スケーリングでは、相似三角形の概念が使用されます。
• 写真デバイスは、同様の三角形のプロパティを使用してさまざまな画像をキャプチャします。
• モデル作成では相似三角形の概念を使用します。
• ナビゲーションと三角法でも同様の三角形のアプローチを使用して、さまざまな問題などを解決します。

相似な三角形に関する重要な注意事項:

• 相似な三角形の面積比は、対応する辺の比の二乗に等しい。
• すべての合同な三角形は相似ですが、すべての相似な三角形が必ずしも合同であるとは限りません。
• これ ' ～ ' 記号は、相似な三角形を示すために使用されます。

相似三角形に関する解決済みの質問

質問 1: 与えられた図 1 では、DE ||紀元前。 AD = 2.5 cm、DB = 3 cm、AE = 3.75 cm の場合。 ACを探しますか？

解決：

autocad 2019 英語版をダウンロードします。

デラウェア州△ABCにて ||紀元前

AD/DB = AE/EC (タレスの定理による)

2.5/3 = 3.75/x、ここで EC = x cm

(3 × 3.75)/2.5 = 9/2 = 4.5 cm

EC = 4.5cm

したがって、AC = (AE + EC) = 3.75 + 4.5 = 8.25 cmとなります。

質問 2: 図 1 DE || の中で紀元前。 AD = 1.7 cm、AB = 6.8 cm、AC = 9 cm の場合。 AEを見つけますか？

解決：

AE = x cm とします。

デラウェア州△ABCにて ||紀元前

タレス定理により、次のようになります。

AD/AB = AE/AC

1.7/6.8 = x/9

x = (1.7×9)/6.8 = 2.25 cm

AE = 2.25 cm

chownコマンド

したがって、AE = 2.25 cm

質問 3: 三角形 (図 1) の 1 つの辺の中点を通って別の辺に平行に引かれた線が 3 番目の辺を二等分することを証明してください。

解決：

|| ΔΑΒC が与えられ、D が AB と DE の中点であるとします。 BC、EでACと会う。

AE = EC を証明するには。

証拠： ドイツ以来 ||紀元前、タレスの定理により、次のようになります。

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB、指定)

AE/EC = 1

AE = EC

質問 4: 与えられた図 2 では、AD/DB = AE/EC および ∠ADE = ∠ACB です。 ABCが二等辺三角形であることを証明してください。

解決：

AD/DB = AE/EC DE || となります。 BC [タレスの定理の逆による]

∠ADE = ∠ABC (∠に対応)

ただし、∠ADE = ∠ACB (与えられる)。

したがって、∠ABC = ∠ACB となります。

したがって、AB = AC [等しい角度の反対側]。

したがって、△ABCは二等辺三角形です。

問題 5: AB = 5.6 cm、AD = 1.4 cm、AC = 7.2 cm、AE = 1.8 cm となるように、D と E がそれぞれ△ABC (図 2) の辺 AB と AC 上の点である場合、DE | が成り立つことを示せ。 |紀元前。

解決：

AB = 5.6 cm、AD = 1.4 cm、AC = 7.2 cm、AE = 1.8 cm とすると、

AD/AB = 1.4/5.6 = 1/4 および AE/AC = 1.8/7.2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

したがって、タレスの定理の逆により、 DE ||紀元前。

質問 6: 三角形の 2 つの辺の中点を結ぶ線分 (図 2) が 3 番目の辺と平行であることを証明してください。

解決：

△ABCの場合、DとEはそれぞれABとACの中点です。

D と E はそれぞれ AB と AC の中点であるため、次のようになります。

AD = DB、AE = EC。

AD/DB = AE/EC (それぞれ 1 に等しい)

したがって、タレスの定理の逆により、 DE ||紀元前

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練習問題 相似三角形

Q1. 2 つの相似な三角形 △ABC と △ADE において、 DE || の場合BC と AD = 3 cm、AB = 8 cm、AC = 6 cm。 AEを見つけます。

Q2. 2 つの相似な三角形 △ABC と △PQR において、QR || の場合BC と PQ = 2 cm、AB = 12 cm、AC = 9 cm。 PR を見つけます。

Q3. 2 つの相似な三角形 ΔABC と ΔAPQ では、辺の長さは AP = 9 cm、PB = 12 cm、BC = 24 cm として与えられます。 ΔABCとΔAPQの面積の比を求めます。

Q4. 2 つの相似な三角形 ΔABC と ΔAPQ では、辺の長さは AP = 3 cm、PB = 4 cm、BC = 8 cm として与えられます。 ΔABCとΔAPQの面積の比を求めます。

要約 - 相似な三角形

相似三角形は、同じ形状を共有するがサイズが異なる幾何学的図形であり、等しい対応する角度と比例した対応する辺によって特徴付けられます。角度-角度 (AA)、側面-角度-側面 (SAS)、および側面-側面-側面 (SSS) などの重要な定理により、三角形の類似性の基準が確立されます。

ヒバ・ブハリ

これらの原則は、スケーリング時に形状の完全性を維持できるため、エンジニアリング、コンピュータ グラフィックス、建築などの分野の基礎となります。タレスの定理、または基本比例定理は、三角形の 1 つの辺に平行な線が他の 2 つの辺をどのように比例的に分割するかを示し、三角形の相似性の概念をさらに実証します。

同様の三角形は、ナビゲーションにおける高さと距離の計算から、技術や建設における設計の最適化に至るまで、実際の応用にとって極めて重要であり、学術と現実世界の両方の文脈において、その広範な関連性を示しています。

相似な三角形 – FAQ

相似三角形クラス 10 とは何ですか?

相似な三角形とは、すべての角が等しく、辺が共通の比率にある三角形です。形状は似ていますが、面積は似ていません。

相似三角形の公式とは何ですか?

相似三角形の公式は、2 つの三角形が相似であるかどうかを示す公式です。 2つの三角形△ABCと△XYZの相似三角形の公式は次のようになります。

• ∠A = ∠X、∠B = ∠Y、∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

相似な三角形を表すために使用される記号はどれですか?

同様の三角形は「~」記号を使用して表されます。 ２つの三角形△ABCと△XYZが相似する場合、△ABC～△XYZと表すと、三角形ABCと三角形XYZが相似すると読みます。

3 つの相似三角形定理とは何ですか?

次の 3 つの三角形定理を使用すると、2 つの三角形が相似であることを簡単に証明できます。

• AA (または AAA) または角度-角度相似定理
• SAS または側角側相似定理
• SSS またはサイドサイドサイド類似性定理

相似な三角形の性質とは何ですか?

相似三角形の重要な性質は次のとおりです。

• 相似な三角形の形状は固定されていますが、サイズは異なる場合があります。
• 相似な三角形では、対応する角度は等しい。
• 相似な三角形では、対応する辺が共通の比率になります。

2 つの三角形が類似しているかどうかを確認するにはどうすればよいですか?

三角形のすべての角度が等しい場合、三角形は相似であると簡単に言えます。

常に相似する三角形はどれですか?

常に相似な三角形は正三角形です。正三角形のすべての角度は常に 60 度であるため、2 つの正三角形は常に相似になります。

相似三角形領域とは何ですか?

2 つの相似な三角形の面積の比は、常にその辺の正方形の比に等しくなります。 2つの三角形△ABCと△XYZについて、次のように言えます。

• 面積△ABC / 面積△XYZ = (AB / XY)²

相似三角形基準とは何ですか?

相似三角形基準は、3 つの三角形を相似三角形として宣言できる基準であり、これら 3 つの基準は次のとおりです。

• AAA 基準 (角度-角度-基準)
• SAS基準（側角基準）
• SSS基準（サイド・サイド・サイド基準）

相似三角形の父親は誰ですか?

幾何学の父と呼ばれることが多い古代ギリシャの数学者ユークリッドは、著書『要素』の中で相似な三角形を理解するための基本原則を提供しました。

相似な三角形は比例しますか?

はい、相似な三角形は比例します。これは、相似な三角形の対応する辺が比例していることを意味し、相似な三角形の対応する辺の比率が一定のままであることを意味します。

常に相似する三角形はどれですか?

同じ 3 つの角を持つ三角形は常に相似です。これは、角度-角度 (AA) 類似性基準として知られる基本的な特性です。

すべての直角三角形は相似ですか?

いいえ、すべての直角三角形が相似であるわけではありません。同じ鋭角を持つ直角三角形は相似ですが、斜辺の長さや辺の長さの比率が異なる場合があり、直角三角形間で相似性がなくなることがあります。

2 つの相似な三角形の比は何ですか?

相似な三角形の対応する 2 つの辺の比率は一定のままです。これは、相似な三角形の対応する辺を取得して比率を計算すると、選択した特定の辺の長さに関係なく、結果は常に同じになることを意味します。