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ド・モルガンの法則 – 定理、証明、公式、例

ド・モルガンの法則は、集合論およびブール代数、さらに集合論における最も一般的な法則です。この記事では、ド・モルガンの法則、集合論におけるド・モルガンの法則、ブール代数におけるド・モルガンの法則とその証明、真理値表、論理ゲート図について学びます。この記事には、解決されたド モルガンの法則の例とド モルガンの法則に関する FAQ も含まれています。ド・モルガンの法則について学びましょう。

目次



ド・モルガンの法則とは

ド・モルガンの法則とは、集合論における和集合、積集合、補集合の関係を与える法則です。ブール代数では、変数の AND、OR、および補数間の関係を示し、論理では、ステートメントの AND、OR、または否定の間の関係を示します。ド・モルガンの法則の助けを借りて、非常に少ない装置で同じ演算を実行するのに役立つ論理ゲートを含むさまざまなブール回路を最適化できます。

集合論におけるド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則 集合論 集合の和集合、交差集合、および補集合間の関係を定義し、2 つの集合の和集合の補集合と集合集合の両方に対して与えられます。集合論には、次の 2 つのド モルガンの法則があります。

  • 第一のド・モルガンの法則
  • 第二ド・モルガンの法則

以下にこれらの法則を詳しく理解しましょう。



第一のド・モルガンの法則

まずド・モルガンの法則は次のように述べています。 2 つのセットの和集合の補数は、各セットの補数の積と等しくなります。

A と B を 2 つのセットとすると、数学的には第一ド モルガンの法則は次のように与えられます。

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’



どこ

  • で セット間の和集合演算を表し、
  • ∩ 集合間の交差演算を表し、
  • ' 集合に対する補数演算を表します。

とも呼ばれます ド・モルガンの結合の法則。

ド・モルガンの法則の証明を詳しく説明する

ステップ 説明
ステップ 1: 法律を述べる ド モルガンの法則には、次の 2 つの部分が含まれます。
ステップ 2: 要素を選択する ``(A ∪ B) = ``A ∩ ``B を証明しましょう。 A ∪ B にない要素 x があるとします。
ステップ 3: 前提を理解する x が A ∪ B にない場合、x は A にも B にもありません。
ステップ 4: 定義を適用する 補数の定義によれば、x が A にも B にも存在しない場合、x は ŠA と ŠB に存在します。
ステップ 5: 証明を完了する x は ``A と ``B'' の両方に含まれるため、x は ``A ∩ ``B に含まれます。したがって、 ``(A ∪ B) = ``A ∩ ``B を示しました。

集合代数を使用した証明

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ を証明する必要があります。

X = (A ∪ B)’ および Y = A’ ∩ B’ とします。

p を X の任意の要素とすると、p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)’

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A または p ∉ B

⇒ p ∈ A’ と p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X⊂Y。 。 。 （ヨ）

もう一度、q を Y の任意の要素とすると、q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ と q ∈ B’

⇒ q ∉ A または q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)’

⇒ q ∈ X

∴Y⊂X。 。 。 (ii)

(i) と (ii) より X = Y

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

こちらもお読みください – ブール代数におけるド・モルガンの法則の証明

ベン図を使用した証明

(A ∪ B) のベン図

A’ ∩ B’ のベン図

両方の図から、次のことが明確に言えます。

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

それが第一ドモルガンの法則です。

「クラスカルのアルゴリズム」

第二ド・モルガンの法則

第 2 ド・モルガンの法則では、次のように述べられています。 2 つのセットの交差の補数は、各セットの補数の和集合に等しい。

A と B を 2 つのセットとすると、数学的には第一ド モルガンの法則は次のように与えられます。

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

どこ

  • で セット間の和集合演算を表し、
  • ∩ 集合間の交差演算を表し、
  • ' 集合に対する補数演算を表します。

とも呼ばれます ド・モルガンの交差法則 。

集合代数を使用した証明

第 2 ド・モルガンの法則: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

X = (A ∩ B)’ および Y = A’ ∪ B’ とします。

p を X の任意の要素とすると、p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)’

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A および p ∉ B

⇒ p ∈ A’ または p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

もう一度、q を Y の任意の要素とすると、q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ または q ∈ B’

⇒ q ∉ A および q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)’

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

(i) と (ii) より X = Y

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

ベン図を使用した証明

(A ∩ B) のベン図

A’ ∪ B’ のベン図

両方の図から、はっきりと言えるのは、

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

それが第二ド・モルガンの法則です。

ブール代数におけるド・モルガンの法則

ド モルガンの法則 ブール代数は、OR、AND、変数の補数間の関係を定義し、AND の補数と 2 つの値の OR の両方に与えられます。ブール代数には、次の 2 つのド モルガンの法則があります。

  • 第一のド・モルガンの法則
  • 第二ド・モルガンの法則

以下にこれらの法則を詳しく理解しましょう。

ブール代数における最初のド・モルガンの法則

まずド・モルガンの法則は次のように述べています。 2 つ以上の変数の OR の補数は、各変数の補数の AND と等しくなります。

A と B を 2 つの変数とすると、数学的には第一ド モルガンの法則は次のように与えられます。

(A + B)’ = A’ 。 B’

どこ

  • + は変数間の OR 演算子を表します。
  • 。 変数間の AND 演算子を表し、
  • ' 変数の補数演算を表します。

最初のド・モルガンの法則 ロジック・ゲート

論理ゲートとブール代数の文脈では、ド・モルガンの法則は、両方の論理ゲート回路、つまり OR ゲートの出力に NOT ゲートが追加されることと、AND ゲートの入力に NOT ゲートが追加されることは同等であると述べています。これら 2 つの論理ゲート回路は次のように与えられます。

l2

最初のド・モルガンの法則真理表

最初のド・モルガンの法則の真理表は次のように与えられます。

あ

B

A+B

(A+B)』

あ’

B’

ああ。 B’

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

ブール代数における第 2 ド・モルガンの法則

第 2 ド・モルガンの法則では、次のように述べられています。 2 つ以上の変数の AND の補数は、各変数の補数の OR に等しくなります。

A と B を 2 つの変数とすると、数学的には第 2 ド モルガンの法則は次のように与えられます。

(A . B)’ = A’ + B’

どこ

  • + は変数間の OR 演算子を表します。
  • 。 変数間の AND 演算子を表し、
  • ' 変数の補数演算を表します。

第 2 ド・モルガンの法則 ロジック・ゲート

論理ゲートとブール代数の文脈では、ド・モルガンの法則は、両方の論理ゲート回路、つまり AND ゲートの出力に NOT ゲートが追加されることと、OR ゲートの入力に NOT ゲートが追加されることは同等であると述べています。これら 2 つの論理ゲート回路は次のように与えられます。

無題-図-(1)

集合の代数

第 2 ド・モルガンの法則真理表

2 番目のド モルガンの法則の真理値表は次のとおりです。

あ

B

Ａ． B

(A.B)』

あ’

B’

A’ + B’

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

モルガンの法則の論理より

ド・モルガンの論理の法則では、以下の前置詞はトートロジーです。

〜 (a ∧ b) ≡ 〜 a ∨ 〜 b

〜 (a ∨ b) ≡ 〜 a ∧ 〜 b

どこ、

  • ∧ ステートメントの結合を表し、
  • ∨ ステートメントの論理和を表し、
  • ～ ステートメントの否定を表し、
  • ≡ ステートメントの等価性を表します。

モルガンの法則の公式より

ド・モルガンの法則のすべての式を次のリストにまとめてみましょう。

集合論の場合:

  • (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
  • (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

ブール代数の場合:

  • (A + B)’ = A’ 。 B’
  • (A . B)’ = A’ + B’

ロジックの場合:

  • 〜 (a ∧ b) ≡ 〜 a ∨ 〜 b
  • 〜 (a ∨ b) ≡ 〜 a ∧ 〜 b

ド・モルガンの法則の解決例

問題 1: U = {2, 3, 7, 8, 9}、A = {2, 7}、B = {2, 3, 9} とします。ド・モルガンの第二法則を証明してください。

解決：

U = {2, 3, 7, 8, 9}、A = {2, 7}、B = {2, 3, 9}

証明するには: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)’ = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

np.ユニーク

A’ = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B’ = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

問題 2: U = {1, 4, 6, 8, 9}、A = {1, 9}、B = {4, 6, 9} とすると、ド・モルガンの第一法則を証明してください。

解決：

U = {1、4、6、8、9}、A = {1、9}、B = {4、6、9}

証明するには: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A’ = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B’ = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

したがって証明されました

問題 3: ブール式を簡略化します: Y = [(A + B).C]’

解決：

Y = [(A + B).C]’

ド・モルガンの法則の適用 (A . B)' = A' + B'

Y = (A + B)’ + C’

ド・モルガンの法則 (A + B)’ = A’ を適用します。 B’

Y = A'。 B' + C'

問題 4: ブール式を簡略化します: X = [(A + B)’ + C]’

解決：

X = [(A + B)’ + C]’

ド・モルガンの法則 (A + B)’ = A’ を適用します。 B’

X = [(A + B)’]’ 。 Ｃ’

X = (A + B)。 Ｃ’

詳細については、このソースを確認してください。

相互リンクのトピック 関連
ブール代数 モルガンの法則のブール代数より
集合論 集合論におけるド・モルガンの法則
論理ゲート モルガンの法則の論理より
離散数学 モルガンの法則からの離散数学
Java プログラミングの例 モルガンの法則 Java より

ド・モルガンの法則の例を示す

コンテクスト 例
ロジックパズル パズル : 雨が降っていて寒いというのが真実でない場合、何を推測できますか? ド・モルガンの法則の適用 : 雨が降っていないか、寒くないと推測できます。これはド・モルガンの法則を使用して、接続詞の否定を論理和に単純化します。
プログラミング シナリオ : 数値が正でないか、プログラミング言語で偶数でないかをチェックします。 コード スニペット (疑似コード) :if !(number>0 と数値 % 2 == 0)>>ド・モルガンの法則を使用して簡略化できます。if (number <= 0 or number % 2 != 0)>。これは、ド モルガンの法則が条件文の簡素化にどのように役立つかを示しています。
数学的証明 声明 : 2 つの集合 A と B の積の補数がそれらの補数の和集合に等しいことを証明します。 ド・モルガンの法則の適用 : ド・モルガンの法則によれば、(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’。これは、ド モルガンの法則を使用して集合論の式を簡素化する方法を示しています。

モルガンの法則の実践例より

例 1: ピザのトッピング

あなたがピザ パーティーに参加していて、マッシュルームとオリーブの両方を一緒にすることを除いて、トッピングを自由に選択できると言われたと想像してください。

  • ド・モルガンの法則の使用 : これは、キノコとオリーブの両方が必要ない場合 (Not (Mushrooms and Olives))、ピザにマッシュルームを入れない (Not Mushrooms) か、オリーブを入れない (Not Olives) かのどちらかを選択できることを意味します。つまり、キノコだけを使ったピザでも、オリーブだけを使ったピザでも、どちらも使わずにピザを作ることもできるのです。

例 2: 図書館の本

先生は、魔法使いやドラゴンに関する本を教室に持ち込むことはできないと言います。

  • ド・モルガンの法則の使用 : これは、魔法使いやドラゴンに関する本が許可されていない場合 (魔法使いやドラゴンではない)、魔法使いに関する本 (魔法使いではない) を持ち込むことも、ドラゴンに関する本 (ドラゴンではない) を持ち込むこともできないことを意味します。なので、宇宙や動物に関する本はまだ大丈夫です！

例 3: 外で遊ぶ

お母さんは、雨が降って寒かったら外で遊べないと言っています。

  • ド・モルガンの法則の使用 ：これは、雨が降っていて寒い（雨が降っていて寒い）という理由で外出しない場合は、ただ雨が降っているだけ（雨が降っていない）またはただ寒い（寒くない）場合は外出しないことを意味します。でも、晴れていて暖かければ、大丈夫ですよ！

例 4: 映画の選択

あなたの友人は、怖い映画や退屈な映画は見たくないと言っています。

  • ド・モルガンの法則の使用 : これは、友達が怖い映画や退屈な映画を望んでいない場合 (そうでない (怖いまたは退屈))、彼らは怖い映画も望んでいない (怖くない) し、退屈な映画も望んでいない (退屈ではない) ことを意味します。 。なので、面白い映画や刺激的な映画が最適です。

ド・モルガンの法則の論理応用

応用分野 説明
論理的推論 論理的なパズルや議論では、ド モルガンの法則は複雑な否定を単純化するのに役立ちます。たとえば、「すべてのリンゴは赤い」を否定して「すべてのリンゴが赤いわけではない」は、一部のリンゴは赤くないことを意味します。
コンピュータサイエンス ド・モルガンの法則は、プログラミングの条件文を最適化する際に重要です。これにより、プログラマーは複雑な論理条件を簡素化し、コードをより効率的で読みやすくすることができます。
電子回路設計 デジタル エレクトロニクスでは、回路の設計と簡素化にド モルガンの法則が使用されます。たとえば、NOT ゲートを使用して AND ゲートを OR ゲートに (またはその逆に) 変換するのに役立ち、より効率的な回路レイアウトの作成が容易になります。

モルガンの法則より – FAQ

集合論におけるド・モルガンの最初の法則ステートメント。

集合論におけるド・モルガンの第一法則は、2 つの集合の和集合の補数は、それらの個々の補数の交差に等しいと述べています。

ブール代数におけるド・モルガンの第二法則ステートメント。

ブール代数におけるド・モルガンの第 2 法則は、2 つ以上の変数の AND の補数は各変数の補数の OR に等しいと述べています。

集合論におけるド・モルガンの法則の式を書きます。

集合論におけるド・モルガンの法則の公式は次のとおりです。

(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

ド・モルガンの法則の式をブール代数で書きます。

ブール代数におけるド・モルガンの法則の公式は次のとおりです。

(i) (A + B)’ = A’ 。 B’

(ii) (A . B)’ = A’ + B’

ド・モルガンの法則の応用例をいくつか書きます。

ド・モルガンの法則の応用例としては、複雑なブール式を最小限に抑えて単純化することが挙げられます。

ド・モルガンの法則を証明するにはどうすればよいでしょうか?

集合論のド モルガンの法則はベン図で証明でき、ブール代数のド モルガンの法則は真理値表で証明できます。