三角関数の公式は、三角形の辺と角度を関係付ける方程式です。これらは、数学、物理学、工学、その他の分野の幅広い問題を解決するために不可欠です。

以下に、最も一般的なタイプの三角関数の公式をいくつか示します。

• 基本的な定義: これらの公式は、直角三角形の辺に関する三角比 (サイン、コサイン、タンジェントなど) を定義します。
• ピタゴラスの定理： この定理は直角三角形の辺の長さを関係付けます。
• 角度の関係: これらの公式は、和と差の公式、倍角の公式、半角の公式など、さまざまな角度の三角比を関連付けます。
• 相互のアイデンティティ: これらの式は、sin(θ) = 1/coc(θ) のように、ある三角比を別の三角比で表します。
• 単位円: 単位円は三角比をグラフで表現したもので、他の多くの公式を導き出すために使用できます。
• サインの法則とコサインの法則: これらの法則は、直角三角形だけでなく、あらゆる三角形の辺と角度に関係します。

さまざまな三角関数の公式と恒等式、解決例、練習問題について学びましょう。

目次

• 三角法とは何ですか?
• 三角関数の公式の概要
• 基本的な三角比
• 三角恒等式
• 三角関数の公式一覧

三角法とは何ですか?

三角法は、三角形の長さと角度に関する関係の研究に焦点を当てた数学の分野として定義されます。三角法は、三角関数の公式と恒等式を使用して解決できるさまざまな種類の問題で構成されています。

三角関数

三角関数は、直角三角形の角度と辺の長さを関係付ける数学関数です。物理学、工学、天文学などのさまざまな分野に幅広く応用されています。主な三角関数には、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントが含まれます。

三角関数の公式の概要

三角法の公式は、物の角度と辺を関連付ける数式です。 直角三角形 。がある 3辺が直角三角形 は以下で構成されています:

• 斜辺 : 直角三角形の最も長い辺です。
• 垂直/反対側 ：与えられた角度に対して直角をなす辺です。
• ベース : 底辺とは、斜辺とその反対側の両方を結ぶ隣接する辺を指します。

三角比

ここでは、クラス 9、10、11、12 の生徒向けに、すべての三角比、積の恒等式、半角の公式、倍角の公式、和と差の恒等式、共関数の恒等式、異なる象限における比の符号などを簡単に説明します。 。

Javaを使ったMVC

ここで説明する三角法の公式のリストは次のとおりです。

• 基本的な三角比の公式
• 単位円の公式
• 三角恒等式

基本的な三角比

三角法には6つの比があります。これらは三角関数と呼ばれます。以下はそのリストです 三角比 、サイン、コサイン、セカント、コセカント、タンジェント、コタンジェントを含みます。

三角法の単位円公式

半径が 1 に等しい単位円の場合、 私 角度です。斜辺と底辺の値は単位円の半径と等しくなります。

斜辺 = 隣接する辺 (底辺) = 1

三角法の比は次の式で与えられます。

• sinθ = y/1 = y
• cosθ = x/1 = x
• タンθ = y/x
• コットθ = x/y
• 秒 θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

三角関数図

三角恒等式

三角関数間の関係は、三角恒等式 (三角恒等式または三角公式と呼ばれることもあります) によって表現されます。これらは、割り当てられた変数のすべての実数値に当てはまります。

• 相互のアイデンティティ
• ピタゴラスのアイデンティティ
• 周期恒等式 (ラジアン単位)
• 偶数角と奇数角の公式
• 共関数恒等式 (度単位)
• 和と差の恒等式
• ダブルアングルのアイデンティティ
• 逆三角法の公式
• トリプルアングルのアイデンティティ
• 半角の恒等式
• プロダクト ID の合計
• 製品のアイデンティティ

これらのアイデンティティについて詳しく説明しましょう。

相互のアイデンティティ

すべての逆恒等式は、直角三角形を基準として求められます。相互のアイデンティティは次のとおりです。

• cosec θ = 1/sin θ
• secθ = 1/cosθ
• cotθ = 1/tanθ
• sinθ = 1/cosecθ
• cosθ = 1/秒θ
• Tanθ = 1/cotθ

ピタゴラスのアイデンティティ

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形で「c」が斜辺、「a」と「b」が 2 本の脚である場合、c2 = a2 + b2 となります。この定理と三角比を使ってピタゴラス恒等式を得ることができます。これらの恒等式を使用して、ある三角比を別の三角比に変換します。 。

• それなし²θ+cos²θ = 1
• 1 + それで²θ = 秒²私
• 1 + ベビーベッド²θ = コ秒²私

三角関数の公式チャート

周期恒等式 (ラジアン単位)

これらの恒等式は、角度を π/2、π、2π などでシフトするために使用できます。これらは、共関数恒等式としても知られています。

全て 三角恒等式 特定の期間の後に繰り返します。したがって、本質的には周期的です。この値の繰り返しの期間は、三角関数の恒等式が異なると異なります。

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

以下は、さまざまな象限の三角関数のプロパティを比較した表です。

偶数角と奇数角の公式

偶数と奇数の角度の式 は、偶数-奇数恒等式とも呼ばれ、負の角度の三角関数を正の角度で表現するために使用されます。これらの三角関数の公式は、偶数関数と奇数関数の特性に基づいています。

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• Tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• 秒(-θ) = 秒θ
• cosec(-θ) = -cosecθ

共関数恒等式 (度単位)

共関数恒等式は、さまざまな三角関数間の相互関係を示します。共関数は度単位でここにリストされています。

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• Tan(90°−x) = コット x
• cot(90°−x) = tan x
• 秒(90°−x) = コ秒 x
• cosec(90°−x) = 秒 x

和と差の恒等式

和と差の恒等式は、2 つの角度の和または差のサイン、コサイン、タンジェントを、個々の角度のサイン、コサイン、タンジェントに関連付ける式です。

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

ダブルアングルのアイデンティティ

倍角恒等式は、元の角度の三角関数に関して、指定された角度の 2 倍の角度の三角関数を表す公式です。

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + Tan²バツ）]
• cos(2x) = cos²(x) – なし²(x) = [(1 – タン²x)/(1 + タン²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²（バツ）
• Tan (2x) = [2tan(x)]/[1 – Tan²（バツ）]
• 秒 (2x) = 秒²x/(2 – 秒²バツ）
• cosec (2x) = (秒 x • cosec x)/2

逆三角法の公式

逆三角関数の公式は、基本的な三角関数の逆関数である逆三角関数に関連しています。これらの公式は、特定の三角比に対応する角度を見つけるために使用されます。

• それなし ^-1 (–x) = – 罪 ^-1 バツ
• コス ^-1 (–x) = π – cos ^-1 バツ
• それで ^-1 (–x) = – それで ^-1 バツ
• コセック ^-1 (–x) = – cosec ^-1 バツ
• 秒 ^-1 (–x) = π – 秒 ^-1 バツ
• ベビーベッド ^-1 (–x) = π – コット ^-1 バツ

トリプルアングルのアイデンティティ

三重角恒等式は、三重角の三角関数 (3θ) を単角 (θ) の関数で表すために使用される公式です。これらの三角関数の公式は、三重角が関係する三角関数の方程式を単純化して解くのに役立ちます。

sin 3x=3sin x – 4sin ³ バツ

Javaでの現在の日付

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

半角の恒等式

半角恒等式は、指定された角度の半分のサイン、コサイン、またはタンジェントを求めるために使用される三角関数の公式です。これらの公式は、半角の三角関数を元の角度で表すために使用されます。

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

また、

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Javaの最後のキーワード

プロダクト ID の合計

和積恒等式は、三角関数の和や差を三角関数の積として表現するのに役立つ三角関数の公式です。

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cozy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − コージー = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

製品のアイデンティティ

積恒等式 (積和恒等式とも呼ばれます) は、三角関数の積を三角関数の和または差として表現できる公式です。

これらの三角関数の公式は、サインとコサインの和と差の公式から導出されます。

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

三角関数の公式一覧

以下の表は、問題を解くためによく使用される 0°、30°、45°、60°、90° などの角度の基本的な三角比で構成されています。

三角関数の公式に関する解決済みの質問

ここでは、概念をよりよく理解するのに役立つ、三角関数の公式に関する解決済みの例をいくつか示します。

問題 1: cosec θ + cot θ = x の場合、三角関数の公式を使用して cosec θ – cot θ の値を求めます。

解決：

cosec θ + cot θ = x

私たちはそれを知っています cosec²θ+簡易ベッド²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

質問 2: 三角法の公式を使用して、tan 10°、tan 15°、tan 75°、tan 80° =1 であることを示してください。

解決：

我々は持っています、

L.H.S=タン10 ° それで15 ° それで75 ° それで80 °

= タン(90-80) ° それで15 ° タン(90-15) ° それで80 °

= 簡易ベッド 80 ° それで15 ° ベビーベッド15 ° それで80 °

=(コット80 ° *だから80 ° )( 簡易ベッド 15 ° *だから15 ° )

= 1 = R.H.S.

質問 3: sin θ cos θ = 8 の場合、(sin θ + cos θ) の値を求めてください。 ² 三角関数の公式を使用します。

解決：

(sinθ+cosθ)²

10の6乗

=なし²θ+cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sinθ + cosθ)²= 17

質問 4: 三角関数の公式を使って、(tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ であることを証明してください。

解決：

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tanθ + 秒θ) – (秒²θ – それで²θ)]/(tan θ – 秒 θ + 1), [以来、秒²θ – それで²θ=1]

タプルの並べ替えPython

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + Tan θ) (sec θ – Tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + Tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

=tanθ+secθ

= (sinθ/cosθ) + (1/cosθ)

= (sinθ + 1)/cosθ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S.証明されました。

三角関数の公式と恒等式に関する FAQ

三角法とは何ですか?

三角法は、三角形、特に直角三角形の角度と辺の間の関係に焦点を当てる数学の一分野です。

3 つの基本的な三角比とは何ですか?

• Sin A = 垂直/斜辺
• Cos A= 底辺/斜辺
• Tan A= 垂直/底辺

三角関数の公式はどの三角形に当てはまりますか?

三角関数の公式は直角三角形に適用できます。

主要な三角比は何ですか?

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカント。

どの角度のtan比の値がcot比と等しくなりますか?

45°の値の場合、tan 45°= cot 45° = 1。

sin3xの公式は何ですか?

sin3x の式は 3sin x – 4 sin³バツ。