数学における多角形 は、閉じた多角形チェーンを形成する直線で構成される 2 次元形状です。ポリゴンという言葉は、多くの面と側面を意味するポリとゴンという言葉から来ています。

ポリゴンは単純な場合もあれば、自己交差する場合もあります。単純なポリゴンは、連続するセグメントの共有端点を除いて、それ自体と交差しません。ポリゴン チェーンがそれ自体と交差すると、自己交差ポリゴンが作成されます。多角形は、凹面または凸面に分類することもできます。

この記事では、ポリゴンとその種類、公式、例について詳しく説明しました。

目次

• ポリゴンとは何ですか?
• ポリゴンの定義
• 辺の数に基づく多角形グラフ
• ポリゴンのプロパティ
• 多角形の形状
• ポリゴンの種類
• 辺を基準とした多角形
• 角度に基づく多角形
• 境界に基づくポリゴン
• 多角形の数式
• ポリゴンの面積
• ポリゴンの周囲長
• 多角形の角度
• よくある質問

ポリゴンとは何ですか?

「多角形」という用語は、ギリシャ語のポルゴノスに由来しており、「ポリ」は「多く」を意味し、「ゴン」は「角」を意味します。一般に、多角形は直線によって形成される閉じた図形であり、その内角はこれらの直線によって形成されます。線。閉じた形状を構成するには、少なくとも 3 本の線分が必要です。一般に三角形または 3 角形として知られています。 n 辺の多角形の総称を n 角形といいます。

ポリゴンの定義

ポリゴン は、完全に囲まれた形状を形成する直線の側面で構成される平らな 2 次元の図形です。幾何学において、多角形は、閉じた多角形の鎖を形成するように接続された線分で構成される平面図形です。それらは曲線ではなく直線の辺で構成されており、任意の数の辺を持つことができます。さまざまな種類のポリゴンには、開いた、境界のみ、閉じた、自己交差などがあります。

ジオメトリでは、ポリゴンは、平面内に平らに配置され、直線の側面で囲まれた閉じた 2 次元形状として定義されます。

ポリゴンには湾曲した側面がなく、そのエッジは境界を定義する直線セグメントです。これらのエッジの交わる点は、頂点またはコーナーと呼ばれます。

ポリゴンの例

数学の観点から見ると、三角形、六角形、五角形、四角形は多角形の例です。 Polygon の実例としては、ラップトップ、テレビ、携帯電話上の長方形の画面が挙げられます。長方形のサッカー場や遊び場、バミューダトライアングル、エジプトの三角形のピラミッドなど。

Javaで設定したパス

ポリゴンのパーツ

ポリゴンは 3 つの基本コンポーネントで構成されます。

• 多角形の辺: ポリゴンの辺は、閉じた領域を定義するポリゴンの境界です。
• 頂点: 2 つの辺が交わる点は頂点として知られています。
• 角度: 多角形には内角と外角の両方が含まれます。内角は、多角形の囲まれた領域内で、その辺の交差によって形成されます。

辺の数に基づく多角形グラフ

ポリゴンが持つ辺の数に基づいて定義されたポリゴンの命名法。これは n 角形として指定されます。「n」は辺の数を表します。ポリゴンは通常、エッジの量によって識別されます。たとえば、5 つの辺を持つ多角形は 5 角形と呼ばれ、10 つの辺を持つ多角形は 10 角形と呼ばれます。

ポリゴンのプロパティ

ポリゴンのプロパティにより、ポリゴンを簡単に識別できます。次のプロパティは、ポリゴンを簡単に知るのに役立ちます。

• 多角形は開いた端がない閉じた形状です。起点と終点は同じである必要があります。
• それは集合的に図形を形成する線分または直線で構成される平面形状をとります。
• 2 次元エンティティとして、ポリゴンは長さと幅の次元でのみ存在し、深さや高さはありません。
• 3 つ以上の辺を持って多角形を構成します。
• 多角形の角度は変化する可能性があります。独特の構成を示しています。
• 多角形の辺の長さはさまざまです。ポリゴン全体で等しい場合もそうでない場合もあります。

多角形の形状

多角形は、閉じた図形を形成するように接続された直線の側面を特徴とする平らな 2 次元形状です。ポリゴン形状の例は次のとおりです。

• 三角形
• 四角形
• 五角形
• 六角形
• ヘプタゴン
• オクタゴン
• 九角形
• デカゴン

三角形

• 3 つの辺と 3 つの頂点があります。
• 対角線はありません。
• 内角の和は180°です。

四角形

• 4 つの辺と 4 つの頂点があります。
• 対角線が2本あります。
• 内角の和は360°です。

五角形

• 5つの辺と5つの頂点があります。
• 対角線が5本あります。
• 内角の和は540°です。

六角形

• 辺が 6 つ、頂点が 6 つあります。
• 対角線が9本あります。
• 内角の和は720°です。

ヘプタゴン

• 7つの辺と7つの頂点があります。
• 対角線が14本あります。
• 内角の和は900°です。

オクタゴン

• 8 つの辺と 8 つの頂点があります。
• 対角線が20本あります。
• 内角の和は1080°です。

九角形

• 9 つの辺と 9 つの頂点があります。
• 対角線は27本あります。
• 内角の和は1260°です。

デカゴン

• 辺が 10 個、頂点が 10 個あります。
• 対角線は 35 本あります。
• 内角の和は1440°です。

ポリゴンの種類

辺と角度に応じて、ポリゴンは次のようなさまざまな基準に基づいてさまざまなタイプに分類できます。

• 側面に基づいて
• 角度に基づいて
• 境界に基づいて

辺を基準とした多角形

ポリゴンは、側面の特性に基づいて次の 2 つの主なタイプに分類できます。

• 正多角形
• 不規則な多角形

正多角形

正多角形は、すべての辺の長さが等しいこと、およびすべての内角の寸法が等しいことによって区別されます。等辺でも等角でも構いません。正多角形の例としては、三角形、四角形、五角形、六角形などが挙げられます。

正多角形

不規則な多角形

不規則な多角形には、不等長な辺とさまざまな大きさの角度があります。正多角形の基準に適合しない多角形は不規則として分類されます。不規則な多角形の一般的な例としては、不等辺三角形、長方形、台形、凧などの四角形、不規則な五角形や六角形の構造があります。

不規則な多角形

角度に基づく多角形

ポリゴンは、その角度の性質に基づいて、次の 2 つの主なカテゴリに分類できます。

• 凸多角形
• 凹多角形

凸多角形

凸多角形には 180° を超える内角はありません。凸多角形は 3 つ以上の辺を持つことができます。凸多角形では、すべての対角線が閉じた図形の内側にあります。凸多角形の一般的な例としては、三角形、すべての凸四角形、正五角形や正六角形などがあります。

凹多角形

凹面多角形には、反射角であり内側を指す内角が少なくとも 1 つあります。凹型ポリゴンには少なくとも 4 つの辺があります。このタイプの多角形は、180° を超える内角が少なくとも 1 つあることを特徴とします。凹多角形では、いくつかの対角線が囲まれた図形の外側に伸びます。凹型多角形の例には、四角形のダーツや矢尻、特定の不規則な五角形や六角形が含まれます。

凹ポリゴンと凸ポリゴンの違い

以下の表で凸多角形と凹多角形の違いを見てみましょう。

境界に基づくポリゴン

ポリゴンは、その境界の性質に基づいて、次の 2 つの主なタイプに分類できます。

• シンプルなポリゴン
• 複雑な多角形

シンプルなポリゴン

シンプル ポリゴンは、単一の交差しない境界によって特徴付けられます。つまり、それ自体は交差せず、1 つの境界で構成されます。

単純なポリゴン

複雑な多角形

一方、複雑なポリゴンはそれ自体を交差させることによって定義されます。その構造内には複数の境界が含まれています。複雑なポリゴンでは境界が交差し、ポリゴン内に複数の個別の領域が作成されます。

1次ロジック

複雑な多角形

詳しくはこちら ポリゴンの種類。

多角形の数式

ジオメトリのポリゴンに関連する公式がいくつかあります。最も一般的に使用されるものには次のようなものがあります。

• 面積の計算式
• 周長の計算式
• 対角線の数

さまざまなポリゴンに関連するすべての式については、以下で説明します。

ポリゴンの面積

多角形の面積 は 2 次元平面内で占める合計スペースを表し、辺の数とポリゴンの分類に基づいた特定の式によって決定されます。面積の計算式は次のとおりです。

ポリゴンの周囲長

2 次元形状の周囲長は、その外側の境界の全長を表します。ポリゴンの場合、周囲長は次のように計算されます。

多角形の対角公式

多角形の対角線は、隣接しない 2 つの頂点を接続することによって形成される線分です。

多角形の対角線の数 = n(n−3)/2、

ここで、「n」はポリゴンが持つ辺の数を表します。

詳しくはこちら 多角形の対角公式 。

多角形の角度

ジオメトリでは、多角形の角度は、多角形の内部と外部の両方で、多角形の辺によって形成される角度を指します。したがって、多角形には両方の角度が存在する可能性があります。つまり、

• 内角
• 外角

これらの角度の公式を次のように詳しく説明します。

多角形の内角公式

多角形の内角は、隣接する辺の間に形成される角であり、正多角形の場合は等しくなります。内角の数は、多角形の辺の数に対応します。

「n」辺を持つ多角形の内角「S」の合計は次のように計算されます。

S = (n – 2) × 180°

ここで、「n」は辺の数を表します。

多角形の外角公式

正多角形の各外角は、その辺の 1 つを (時計回りまたは反時計回りに) 延長し、この延長部分と隣接する辺の間の角度を測定することによって形成されます。正多角形ではすべての外角が等しい

多角形の外角の総和は 360° に固定されます。

したがって、

各外角は 360°/n で与えられます。

ここで、「n」は辺の数です。

多角形の頂点の内角と対応する外角の合計は常に 180 度であり、補足的な関係を表します。

内角 + 外角 = 180°

外角 = 180° – 内角

結論

• 多角形は 3 本以上の線分で囲まれた閉じた図形です
• 内角の和: n 角形のすべての内角の合計は、式 (n – 2) × 180° で求められます。
• 対角線の数: n 辺を持つ多角形の場合、対角線の数は式 n(n-3)/2 を使用して計算されます。
• 対角線によって形成される三角形: 多角形の 1 つの角から対角線を結んで形成される三角形の数は n–2 です。
• 正多角形の内角: n 辺正多角形の各内角の単位は、{(n-2)×180°}/n です。
• 正多角形の外角: n 辺の正多角形の各外角の寸法は 360°/n です。

また、読んでください

• 四角
• 平行四辺形
• 矩形

数学における多角形の解決例

例 1: 4 つの辺を持つ四角形を考えてみましょう。四角形のすべての内角の合計を求めます。

解決：

n辺正多角形の内角の和の公式 = (n − 2) × 180°

四角形のすべての内角の合計 = (4 – 2) × 180°

四角形のすべての内角の合計 = 2 × 180°

四角形のすべての内角の合計 = 360°

したがって、四角形の内角をすべて足すと 360°になります。

例 2: 外角と内角の比率が 7:3 である正多角形を考えてみましょう。ポリゴンの種類を決定します。

解決：

外角と内角の比率は7:3です。

多角形の外角と内角が 7x と 3x であると仮定します。

多角形の外角と内角の合計は 180° です。

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

外角 = 18°

辺の数 = 360°/外角

= 360°/18°

= 20

したがって、指定された多角形は 20 の辺があるため、正二十角形になります。

例 3: 多角形の各外角は 90 度であり、多角形のタイプを決定しますか?

解決：

式によると、各外角 = 360°/n

ここで、n = 辺の数です。

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

したがって、問題の多角形は 4 つの辺があるため、四角形になります。

例4：辺は10m、10m、8m、8m、5m、5m、9m、9mです。外周には何メートルのロープが必要ですか?

解決：

0は10億のうち何個

周囲に必要なロープの長さを見つけるには、すべての辺の長さを合計する必要があります。

外周 = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

周囲 = 64 m。

したがって、周囲には合計 64 メートルのロープが必要になります。

ジオメトリのポリゴンに関する練習問題

以下は、多角形の公式に基づいたいくつかの練習問題です。

Q1. 五角形の 1 つの角度が 140°であるとすると、残りの角度が 1:2:3:4 の比率にある場合の最大の角度のサイズを決定します。

Q2. 多角形の内角の合計が 160°の場合、多角形の辺の数を求めます。

Q3. 2 つの正多角形の辺の数は 2:3 で、内角の比は 4:5 です。これらの多角形のそれぞれの辺の数を見つけます。

Q4. 七角形の角度の合計を求めます。

Q5. 五角形の外角の和を計算します。

Q6. 六角形には辺が何個ありますか?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

Q7. 正多角形ではないものは次のうちどれですか?

1. 三角形
2. 四角
3. 五角形
4. 平行四辺形

数学における多角形に関するよくある質問

数学における多角形とは何ですか?

数学では、多角形は 3 本以上の直線の接続によって形成される閉じた 2 次元図形を指します。ポリゴンという用語はギリシャ語に由来しており、poly- は多くを意味し、gon は角度を表します。

最小の多角形はどれですか?

形成される最小の多角形は 3 つの辺を持つ三角形です。

20ゴンとは何ですか？

20 角形は、幾何学における 20 角形の多角形です。

多角形の外角の総和はいくらですか?

多角形の外角の合計は 360°です。

円は多角形として分類できますか?

多角形は直線セグメントで構成される閉じた形状です。円は閉じた図形ですが曲線でできています。したがって、円は多角形ではありません。

多角形の内角の和はいくらですか?

多角形の内角の和は、(n-2)×180°で与えられます。ここで、n は多角形の辺の数です。